【题目】教材呈现:下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容.
猜想
如图,在△ABC中,点D、E分别是AB与AC的中点,根据画出的图形,可以猜想:
DE∥BC,且DE=BC.
对此,我们可以用演绎推理给出证明
证明在△ABC中,
∵点D、E分别是AB与AC的中点,
∴请根据教材提示,结合图①,写出完整证明过程,
结论应用:
如图②在四边形ABCD中,AD=BC,点P是对角线BD的中点,M是DC中点,N是AB中点,MN与BD相交于点Q.
(1)求证:∠PMN=∠PNM;
(2)若AD=BC=4,∠ADB=90°,∠DBC=30°,则PQ= .
【答案】教材呈现:证明见解析;结论应用:(1)证明见解析;(2).
【解析】
教材呈现:先判断出△ADE∽△ABC,即可得出绪论;
结论应用:(1)根据教材呈现中的续签,得出PM=BC,PN=AD,再利用BC=AD,即可得出绪论;
(2)先根据(1)的结论判断出∠MPN=120°,进而求得∠PMN=∠PNM=30°,∠EPQ=30°,再利用三角函数求解即可得出结论.
教材呈现:
在△ABC中,
∵点D、E分别是AB与AC的中点,
∴,
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,
∴DE∥BC,,
即:DE∥BC,DE=BC,
结论应用:
(1)证明:∵点P,M分别是BD,DC的中点,
∴PM=BC,
∵点P,N分别是BD,AB的中点,
∴PN=AD,
∵BC=AD,
∴PM=PN,
∴∠PMN=∠PNM;
(2)解:
∵点P,M分别是BD,DC的中点,
∴PM∥BC,
∴∠DPM=∠DBC=30°
∵点P,N分别是BD,AB的中点,
∴PN∥AD,
∴PN=AD=2,∠DPN=180°﹣∠ADB=90°,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=120°,
由(1)知,∠PMN=∠PNM,
∴∠PMN=∠PNM=30°,
过点P作PE⊥MN于E,如图:
∴∠NPE=90°﹣∠PNM=60°,
∴∠EPQ=∠DPN﹣∠NPE=30°,
在中,∴∠PNE=30°,PN=2,
∴PE=PN=1,
在中,,
故答案为:.
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【题目】如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,CD切⊙O于点C,AE⊥CD于点E
(1)求证:AC平分∠DAE;
(2)若AB=6,BD=2,求CE的长.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则在下列各式子:①abc>0;②a+b+c>0;③a+c>b;④2a+b=0;⑤=b2-4ac<0中,成立的式子有( )
A. ②④⑤ B. ②③⑤
C. ①②④ D. ①③④
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【题目】四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.
(1)如图1,点P是正方形ABCD外一点,连接OP,以OP为一边,作正方形OPMN,且边ON与边BC相交,连接AP,BN.
①依题意补全图1;
②判断AP与BN的数量关系及位置关系,写出结论并加以证明;
(2)点P在AB延长线上,且∠APO=30°,连接OP,以OP为一边,作正方形OPMN,且边ON与BC的延长线恰交于点N,连接CM,若AB=2,求CM的长(不必写出计算结果,简述求CM长的过程)
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【题目】在中,,,以点为圆心、为半径作圆,设点为⊙上一点,线段绕着点顺时针旋转,得到线段,连接、.
(1)在图中,补全图形,并证明 .
(2)连接,若与⊙相切,则的度数为 .
(3)连接,则的最小值为 ;的最大值为 .
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【题目】如图1,在矩形中,,点从点出发向点移动,速度为每秒1个单位长度,点从点出发向点移动,速度为每秒2个单位长度. 两点同时出发,且其中的任何一点到达终点后,另一点的移动同时停止.
(1)若两点的运动时间为,当为何值时,?
(2)在(1)的情况下,猜想与的位置关系并证明你的结论.
(3)①如图2,当时,其他条件不变,若(2)中的结论仍成立,则_________.
②当,时,其他条件不变,若(2)中的结论仍成立,则_________(用含的代数式表示).
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【题目】在平面直角坐标系中,存在抛物线以及两点和.
(1)求该抛物线的顶点坐标;
(2)若该抛物线经过点,求此抛物线的表达式;
(3)若该抛物线与线段只有一个公共点,结合图象,求的取值范围.
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【题目】用配方法解下列方程,其中应在方程左右两边同时加上4的是( )
A. x2﹣2x=5 B. x2+4x=5 C. 2x2﹣4x=5 D. 4x2+4x=5
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