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【题目】教材呈现:下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容.

猜想

如图,在ABC中,点DE分别是ABAC的中点,根据画出的图形,可以猜想:

DEBC,且DEBC

对此,我们可以用演绎推理给出证明

证明在ABC中,

∵点DE分别是ABAC的中点,

请根据教材提示,结合图①,写出完整证明过程,

结论应用:

如图②在四边形ABCD中,ADBC,点P是对角线BD的中点,MDC中点,NAB中点,MNBD相交于点Q

1)求证:∠PMN=∠PNM

2)若ADBC4,∠ADB90°,∠DBC30°,则PQ   

【答案】教材呈现:证明见解析;结论应用:(1)证明见解析;(2

【解析】

教材呈现:先判断出△ADE∽△ABC,即可得出绪论;

结论应用:(1)根据教材呈现中的续签,得出PMBCPNAD,再利用BCAD,即可得出绪论;

2)先根据(1)的结论判断出∠MPN120°,进而求得∠PMN=∠PNM30°,∠EPQ30°,再利用三角函数求解即可得出结论.

教材呈现:

ABC中,

∵点DE分别是ABAC的中点,

∵∠A=∠A

∴△ADE∽△ABC

DEBC

即:DEBCDEBC

结论应用:

1)证明:∵点PM分别是BDDC的中点,

PMBC

∵点PN分别是BDAB的中点,

PNAD

BCAD

PMPN

∴∠PMN=∠PNM

2)解:

∵点PM分别是BDDC的中点,

PMBC

∴∠DPM=∠DBC30°

∵点PN分别是BDAB的中点,

PNAD

PNAD2,∠DPN180°﹣∠ADB90°

∴∠MPN=∠DPM+DPN120°

由(1)知,∠PMN=∠PNM

∴∠PMN=∠PNM30°

过点PPEMNE,如图:

∴∠NPE90°﹣∠PNM60°

∴∠EPQ=∠DPN﹣∠NPE30°

中,∴∠PNE30°PN2

PEPN1

中,

故答案为:

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C. ①②④ D. ①③④

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2)在(1)的情况下,猜想的位置关系并证明你的结论.

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