Question

13．已知E是正方形ABCD外一点，且AB=AE，连BE作AF⊥BE，垂足为F，连DE交AF于G．
（1）求∠AGD的度数；
（2）连CG，求$\frac{AG+CG}{DG}$的值；
（3）若EG=2，DG=6，则正方形ABCD的边长为2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）根据2∠EAF=∠BAE和三角形内角和是180°求出∠AGD的度数；
（2）连接BG、BD，作∠CDH=∠ADG，DH=DG，连接CH，证明△DCH≌△DAG和∠GDH=90°，根据勾股定理得到答案；
（3）作AM⊥DE于M，得到△AGM为等腰直角三角形，求出AM=2，又MD=4，根据勾股定理得到答案．

解答 解：（1）∵AB=AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，2∠EAF=∠BAE，
又∵∠AED+∠ADE+∠EAB=90°，
∴∠AGD=∠AED+∠EAF=$\frac{1}{2}$（∠AED+∠ADE）+$\frac{1}{2}$∠EAB=45°；
（2）连接BG、BD，作∠CDH=∠ADG，DH=DG，连接CH，
由题意可知，∠BGF=∠EGF=45°，
∴∠BGD=90°，又∠ADC=90°，
∴∠GAD+∠GCD=180°，
由作图可知，△DCH≌△DAG，
∴CH=AG，∠DCH=∠DAG，
∴点G、C、H在同一条直线上，
又∵∠CDH=∠ADG，
∴∠GDH=90°，
∴AG+CG=GH=$\sqrt{2}$GD，
∴$\frac{AG+CG}{DG}$=$\sqrt{2}$；
（3）作AM⊥DE于M，则△AGM为等腰直角三角形，
∵EM=$\frac{1}{2}$ED=$\frac{1}{2}$（2+6）=4，
∴GM=2，
则AM=2，又MD=4，
由勾股定理，AD=2$\sqrt{5}$，
∴正方形ABCD的边长为2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是正方形的性质，掌握等腰直角三角形的性质、确定三角形的判定定理并且正确作出辅助线是解题的关键，注意勾股定理的运用．