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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=
    43
    x+8    与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B（10，0），又点P是抛物线的对称轴上一动点．
    （1）求点A的坐标、抛物线的解析式及顶点N的坐标；
    （2）在图1中的上找一点P0，使P0到点A与点C的距离之和最小；并求△PAC周长的最小值；
    （3）如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动（M不与端点C、O重合），过点M作MH∥CB交x轴于点H，设M移动的时间为秒，试把△P0HM的面积S表示成时间的函数，当为何值时，S有最大值，并求出最大值．
    分析：（1）利用一次函数与坐标中交点求法得出A，C坐标，再利用待定系数法求出二次函数的解析式；
    （2）由轴对称可知该题周长最小即为 AC+BC的长，从而求出；
    （3）由△OBC∽△CMN，得到高关于t的式子，因为MH∥BC，得到△MHP0三角形底边关于t的表达式，根据t的取值范围，从而求得S的最大值．
    解答：解：（1）由题意直线AC与x轴的交点为A，
    所以当y=0，则x=-6，
    所以点A（-6，0）．
    同理点C（0，8），
    点B（10，0），
    由点A，B，C三点的二次函数式为y=ax2+bx+c，
    36a-6b+c=0
    c=8
    100a+10b+c=0
    ，
    解得：
    a=-
    2
    15
    b=
    8
    15
    c=8
    ，
    得出y=-
    2
    15
    x2 +
    8
    15
    x+8    =-
    2
    15
    （x-2）2+
    128
    15
    ．
    顶点N（2，
    128
    15
    ）；

    （2）要使P0到点A与点C的距离之和最小，根据A，B关于对称轴对称得出，连接BC，交对称轴于一点P，
    此时P0到点A与点C的距离之和最小，
    可知三角形PAC最小即为AC+BC，
    ∵AC=
    		62+82
    =10，BC=
    		82+102
    =2
    		41
    ，
    ∴△PAC周长的最小值为：10+2
    		41
    ，

    （3）如图，作MN⊥BC于点N，
    ∵∠MCN=∠OCB，∠MNC=∠COB，
    ∴△OBC∽△NCM，
    所以
    h
    10
    =
    2t
    2
    		41
    ，
    即h=
    10
    		41
    t
    41
    ．
    因为MH∥BC，
    所以
    8-2t
    8
    =
    MH
    BC
    ，
    解得MH=
    8-2t
    8
    BC    =
    8-2t
    8
    ×2
    		41
    =
    		41
    4
    (8-2t)    ，
    S=
    1
    2
    MH•h，
    =
    1
    2
    ×
    		41
    4
    （8-2t）×
    10
    		41
    t
    41
    ，
    =10t-
    5
    2
    t2    ，
    因为每秒移动2个单位，
    则当t=-
    b
    2a
    =2时符合范围0＜t＜4，
    所以当t=2时S最大为10．
    点评：本题考查了二次函数的综合应用，以及利用三点求二次函数式、相似三角形的性质等知识，利用三角形面积求出S与t的关系是解题关键．
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    BD
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