己知方程x2-x-1=0的根是方程x6-px2+q=0的根,则p=________,q=________.
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分析:根据韦达定理求得设方程x2-x-1=0的二根分别为x1、x2,由韦达定理,得x1+x2=1,x1•x2=-1;然后将x1、x2分别代入方程x6-px2+q=0列出方程组,再通过解方程组求得pq的值.
解答:设方程x2-x-1=0的二根分别为x1、x2,由韦达定理,得x1+x2=1,x1•x2=-1,则
x12+x22=(x1+x2)2-2x1•x2=-1+2=3,
(x12)2+(x22)2=(x12+x22)2-2x12•x22=7.
将x1、x2分别代入方程x6-px2+q=0,得
x16-px12+q=0…①
x26-px22+q=0…②
①-②,得
(x16-x26)-p(x12-x22)=0,
【(x12)3-(x22)3】-p(x12-x22)=0,
(x12-x22)【(x12)2+(x22)2+x12•x22】-p(x12-x22)=0,
由于x1≠x2,则x12-x22≠0,所以化简,得
【(x12)2+(x22)2+x12•x22】-p=0,
则p=(x12)2+(x22)2+(x1•x2)2=7+(-1)2=8,
①+②,得
(x16+x26)-8(x12+x22)+2q=0,
【(x12)3+(x22)3】-24+2q=0,
∴(x12+x22)【(x12)2+(x22)2-x12•x22】-24+2q=0,
∴3【(x12)2+(x22)2-(x1•x2)2】-24+2q=0,
∴3(7-1)-24+2q=0,解得
q=3;
综上所述,p=8,q=3.
故答案是:8、3.
点评:此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.