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1.定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个矩形的直径.如图,△ABC中.∠ABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,点D是菱形ACEF对角线的交点,可以得到损矩形ABCD,连接BD,则有∠DBC=∠DAC,∠DBC=60°,∠ACB=15°
(1)点M是AC中点,连接BM,DM,判断△MBD的形状,并说明理由.
(2)若BD=2$\sqrt{3}$,求:菱形ACEF的面积.

分析 (1)由菱形的性质得出AE⊥CF,AD=$\frac{1}{2}$AE,CD=$\frac{1}{2}$CF,由直角三角形斜边上的中线性质得出DM=BM=CM,得出∠BDM=∠DBM,∠MBC=∠ACB=15°,求出∠DBM=∠BDM=45°,证出∠BMD=90°即可;
(2)由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{6}$,得出AC=2$\sqrt{6}$,由含30°角的直角三角形的性质得出AD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{6}$,得出CD=3$\sqrt{2}$,求出AE=2AD=2$\sqrt{6}$,CF=2CD=6$\sqrt{2}$,即可得出结果.

解答 解:(1)△MBD是等腰直角三角形;理由如下:
∵四边形ACEF是菱形,
∴AE⊥CF,AD=$\frac{1}{2}$AE,CD=$\frac{1}{2}$CF,
∴∠ADC=90°=∠ABC,
∵点M是AC中点,
∴DM=$\frac{1}{2}$AC=AM=CM,BM=$\frac{1}{2}$AC=CM,
∴DM=BM=CM,
∴∠BDM=∠DBM,∠MBC=∠ACB=15°,
∵∠DBC=60°,
∴∠DBM=∠BDM=60°-15°=45°,
∴∠BMD=90°,
∴△MBD是等腰直角三角形;
(2)由(1)得:△MBD是等腰直角三角形,
∴BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{6}$,
∴AC=2$\sqrt{6}$,
∵∠DBC=∠DAC=60°,
∴∠ACD=90°-60°=30°,
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{6}$,CD=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$×$\sqrt{6}$=3$\sqrt{2}$,
∴AE=2AD=2$\sqrt{6}$,CF=2CD=6$\sqrt{2}$,
∴菱形ACEF的面积=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$×6$\sqrt{2}$=12$\sqrt{3}$.

点评 本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握菱形的性质,证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键.

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