Question

13．如图，已知?ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作?ABCD关于直线AD的对称图形AB₁C₁D
（1）若m=3，试求四边形CC₁B₁B面积S的最大值；
（2）若点B₁恰好落在y轴上，试求$\frac{n}{m}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，易证S_?BCEF=S_?BCDA=S_?B1C1DA=S_?B1C1EF，从而可得S_?BCC1B1=2S_?BCDA=-4（n-$\frac{3}{2}$）²+9，根据二次函数的最值性就可解决问题；
（2）如图2，易证△AOD∽△B₁OB，根据相似三角形的性质可得OB₁=$\frac{m}{2}$，然后在Rt△AOB₁中运用勾股定理就可解决问题．

解答 解：（1）如图1，
∵?ABCD与四边形AB₁C₁D关于直线AD对称，
∴四边形AB₁C₁D是平行四边形，CC₁⊥EF，BB₁⊥EF，
∴BC∥AD∥B₁C₁，CC₁∥BB₁，
∴四边形BCEF、B₁C₁EF是平行四边形，
∴S_?BCEF=S_?BCDA=S_?B1C1DA=S_?B1C1EF，
∴S_?BCC1B1=2S_?BCDA．
∵A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）、m=3，
∴AB=m-n=3-n，OD=2n，
∴S_?BCDA=AB•OD=（3-n）•2n=-2（n²-3n）=-2（n-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{2}$，
∴S_?BCC1B1=2S_?BCDA=-4（n-$\frac{3}{2}$）²+9．
∵-4＜0，∴当n=$\frac{3}{2}$时，S_?BCC1B1最大值为9；

（2）当点B₁恰好落在y轴上，如图2，
∵DF⊥BB₁，DB₁⊥OB，
∴∠B₁DF+∠DB₁F=90°，∠B₁BO+∠OB₁B=90°，
∴∠B₁DF=∠OBB₁．
∵∠DOA=∠BOB₁=90°，
∴△AOD∽△B₁OB，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{O{B}_{1}}{OB}$，
∴$\frac{n}{2n}$=$\frac{O{B}_{1}}{m}$，
∴OB₁=$\frac{m}{2}$．
由轴对称的性质可得AB₁=AB=m-n．
在Rt△AOB₁中，
n²+（$\frac{m}{2}$）²=（m-n）²，
整理得3m²-8mn=0．
∵m＞0，∴3m-8n=0，
∴$\frac{n}{m}$=$\frac{3}{8}$．

点评 本题主要考查了轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值性、勾股定理等知识，得到S_?BCC1B1=2S_?BCDA是解决第（1）小题的关键，在Rt△AOB₁中运用勾股定理是解决第（2）小题．