Question

4．如图，已知直线AB的函数表达式为y=2x+10，与x轴交点为A，与y轴交点为B．
（1）求 A，B两点的坐标；
（2）若点P为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF．是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在一次函数y=2x+10中，分别令x=0和y=0，解相应方程，可求得A、B两点的坐标；
（2）由矩形的性质可知EF=OP，可知当OP最小时，则EF有最小值，由垂线段最短可知当OP⊥AB时，满足条件，由条件可证明△AOB∽△OPB，利用相似三角形的性质可求得OP的长，即可求得EF的最小值．

解答 解：
（1）∵一次函数y=2x+10，
令x=0，则y=10，令y=0，则x=-5，
∴点A坐标为（-5，0），点B坐标为（0，10）；
（2）存在点P使得 EF 的值最小，
理由如下：
∵PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，
∴四边形PEOF是矩形，且EF=OP，
∵O为定点，P在线段上AB运动，
∴当OP⊥AB时，OP取得最小值，此时EF最小，
∵点A坐标为（-5，0），点B坐标为（0，10），
∴OA=5，O B=10，
由勾股定理得：AB=$5\sqrt{5}$
∵∠AOB=90，OP⊥AB，
∴△AOB∽△OPB，
∴$\frac{AO}{OP}=\frac{AB}{OB}$，
∴OP=$2\sqrt{5}$，
即存在点P使得 EF 的值最小，最小值为 $2\sqrt{5}$．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数与坐标轴的交点、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．在（1）中注意函数图象与坐标轴交点坐标的求法，在（2）中确定出使EF最小时P点的位置是解题的关键．