Question

已知：如图，AB是半圆O上的直径，E是

BC

的中点，半径OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE的延长线于点F．BC=8，DE=2．
（Ⅰ）求⊙O的半径；
（Ⅱ）求点F到⊙O的切线长．

Answer 1

分析：（1）利用切线的性质，设出半径，再利用勾股定理列出方程即可得出半径；
（2）欲求切线长，只需证明△OCF∽△ODC即可，利用相似三角形的性质即可得出切线CF的长．

解答：解：（1）∵OE⊥BC，∴CD=

1

2

BC=4．（1分）
设⊙O半径为r，则OD=r-DE=r-2，
∵CF是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
在Rt△OCD中，有OC²=OD²+CD²，（3分）
即r²=（r-2）²+4²，解得r=5．（4分）

（2）∵∠OCF=∠ODC，∠FOC=∠COD，
∴△OCF∽△ODC，（6分）
∴

CF

OC

=

DC

OD

，∴CF=

OC•DC

OD

=

5×4

3

=

20

3

．（8分）

点评：本题综合考查了切线的性质和三角形相似的判定及其应用，有一定的难度，要求学生能够仔细读题，把握已知，认真完成题目要求．