【题目】如图,和中,,,,边与边交于点(不与点,重合),点,在异侧,为的内心.
(1)求证:;
(2)设,用含的式子表示为___________,则求的最大值为_______.
(3)当时,的取值范围为,则________,________.
【答案】(1)见解析;(2)6-x,3;(3)105°,145°.
【解析】
(1)由条件易证△ABC≌△ADE,得∠BAC=∠DAE即可.
(2)PD=AD-AP=6-x,∵点P在线段BC上且不与B、C重合,∴AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度,此时PD可得最大值.
(3)I为△APC的内心,即I为△APC角平分线的交点,应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即可表示出∠AIC,从而得到m,n的值.
(1)证明:在和中,(如图1)
∴
∴
∴
即.
(2)解:.
当时,值最小即的值最大.
∵,
∴
∴
∴的最大值为3.
故答案为:6-x,3;
(3)如图2,设∠BAP=α,则∠APC=α+30°,
∵∠BAC=80°,∠B=30°,
∴∠PCA=180°-∠BAC-∠B=70°,∠PAC=∠BAC-∠BAP=80°-α,
∵I为△APC的内心
∴AI、CI分别平分∠PAC,∠PCA,
∴∠IAC=∠PAC,∠ICA=∠PCA
∴∠AIC=180°-(∠IAC+∠ICA)
=180°-(∠PAC+∠PCA)
=180°-(80°-α+70°)
=α+105°
∵0<α<80°,
∴105°<α+105°<145°,即105°<∠AIC<145°,
∴m=105,n=145.
故答案为:105°,145°.
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【题目】在中,,,,点D在边AB上,且,动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,以PD为边向上做正方形,设点P运动的时间为秒,正方形与重叠部分的面积为.
(1)用含有的代数式表示线段的长.
(2)当点落在的边上时,求的值.
(3)求与的函数关系式.
(4)当点P在线段AD上运动时,做点N关于CD的对称点,当与的某一个顶点的连线平分的面积时,求的值.
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【题目】如图,点A是双曲线y=在第一象限上的一动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为斜边作等腰Rt△ABC,点C在第二象限,随着点A的运动,点C的位置也不断的变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为_____.
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【题目】下列赋予实际意义的叙述中不正确的是( )
A. 若葡萄的价格是4元/千克,则表示买千克葡萄的金额
B. 若表示一个正方形的边长,则表示这个正方形的周长
C. 将一个小木块放在水平桌面上,若4表示小木块与桌面的接触面积,表示桌面受到的压强,则表示小木块对桌面的压力
D. 若4和分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字,则表示这个两位数
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【题目】如图,正方形的边长为8,是的中点,是边上的动点,连结,以点为圆心,长为半径作.
(1)当________时,;
(2)当与正方形的边相切时,求的长;
(3)设的半径为,请直接写出正方形中恰好有两个顶点在圆内的的取值范围.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D.
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=3,∠B=30°.
①求⊙O的半径;
②设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π)
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【题目】(1)阅读理解:
如图①,在中,若,,求边上的中线的取值范围.
可以用如下方法:将绕着点逆时针旋转得到,在中,利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______;
(2)问题解决:
如图②,在中,是边上的中点,于点,交于点,交于点,连接,求证:;
(3)问题拓展:
如图③,在四边形中,,,,以为顶点作一个的角,角的两边分别交、于、两点,连接,探索线段,,之间的数量关系,并说明理由.
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【题目】我国很多城市水资源缺乏,为了加强居民的节水意识,某市制定了每月用水8吨以内(包括8吨)和用水8吨以上两种收费标准(收费标准:每吨水的价格),某用户每月应交水费y(元)是用水量x(吨)的函数,其函数图象如图所示.
(1)求出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准;
(2)若芳芳家6月份共交水费28.1元,请写出用水量超过8吨时应交水费y(元)与用水量x(吨)之间的函数关系,并求出芳芳家6月份的用水量.
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【题目】快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发,匀速而行,快车到达乙地后停留,然后按原路原速返回,快车比慢车晚到达甲地,快慢两车距各自出发地的路程与所用的时间的关系如图所示.
(1)由图可知快车的速度为______;慢车的速度为______;
(2)求出发长时间后,快慢两车距各自出发地的路程相等;
(3)快慢两车出发多少相距?直接写出答案.
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