Question

如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P(4，2)是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．

(1)证明PA是⊙O的切线；

(2)求点B的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：依题意可知，A(0，2) 　　∵A(0，2)，P(4，2)， 　　∴AP∥x轴． 　　∴∠OAP＝90°，且点A在⊙O上， 　　∴PA是⊙O的切线； 　　(2)解法一：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D， 　　∵PB切⊙O于点B， 　　∴∠OBP＝90°，即∠OBP＝∠PEC， 　　又∵OB＝PE＝2，∠OCB＝∠PEC. 　　∴△OBC≌△PEC． 　　∴OC＝PC． 　　(或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC＝PC也可) 　　设OC＝PC＝x， 　　则有OE＝AP＝4，CE＝OE－OC＝4－x， 　　在Rt△PCE中，∵PC2＝CE2＋PE2， 　　∴x2＝(4－x)2＋22，解得x＝，　4分 　　∴BC＝CE＝4－＝， 　　∵OB·BC＝OC·BD，即×2×＝××BD，∴BD＝． 　　∴OD＝＝＝， 　　由点B在第四象限可知B(，)； 　　解法二：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥y轴于点D， 　　∵PB切⊙O于点B， 　　∴∠OBP＝90°即∠OBP＝∠PEC． 　　又∵OB＝PE＝2，∠OCB＝∠PEC， 　　∴△OBC≌△PEC． 　　∴OC＝PC(或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC＝PC也可) 　　设OC＝PC＝x， 　　则有OE＝AP＝4，CE＝OE－OC＝4－x， 　　在Rt△PCE中，∵PC2＝CE2＋PE2， 　　∴x2＝(4－x)2＋22，解得x＝，　4分 　　∴BC＝CE＝4－＝， 　　∵BD∥x轴， 　　∴∠COB＝∠OBD， 　　又∵∠OBC＝∠BDO＝90°， 　　∴△OBC∽△BDO，∴＝＝， 　　即＝＝． 　　∴BD＝，OD＝． 　　由点B在第四象限可知B(，)；