Question

11．有一张边长为10cm的正三角形纸板，若要从中剪一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积为多少？

Answer 1

分析 设矩形的一条边长是x，面积是y，另一边就是$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-x），利用矩形面积即可得到关于边长x的二次函数的解析式计算即可．

解答 解：如图，作EK⊥FG于K，交AB于H．

设矩形的一条边AB长是x，
∵AB∥FG，
∴△EAB∽△EFG，
∴$\frac{AB}{FG}$=$\frac{EH}{EK}$，
∴EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴BC=HK=EK-EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×10-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，设矩形的面积为y
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x（10-x），
y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+5$\sqrt{3}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-5）²+$\frac{25\sqrt{3}}{2}$（0＜x＜10），
∴x=5时，y有最大值$\frac{25\sqrt{3}}{2}$．
则矩形的最大面积为$\frac{25\sqrt{3}}{2}$cm²．

点评 本题考查了二次函数的最值问题，等腰直角三角形的性质，利用矩形的面积建立函数是解决问题的关键．