Question

阅读下面一段文字：“一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情况有三种：
①当b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
③当b²-4ac＜0时，方程没有实数根．”请利用以上结论，解答下面的问题：
已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4（k-）=0．
（1）判断这个一元二次方程的根的情况；
（2）若等腰三角形的一边长为4，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．

Answer 1

解：（1）b²-4ac
=（2k+1）²-4×4（k-）
=4k²-12k+9
=（2k-3）²≥0，
∴方程必有两个的实数根；

（2）①当4为腰长时，
则必有x=4，
代入原方程得k=2.5，
∴原方程为x²-6x+8=0，
解得x₁=2，x₂=4，
∴等腰三角形周长为10；
②当4为底边时，
方程有两个相等的实数根，
即b²-4ac=（2k-3）²=0．
∴k=1.5，此时原方程为x²-4x+4=0．
解得x₁=x₂=2．
但2，2，4不能组成三角形，故舍去．
∴等腰三角形周长为10．
分析：（1）根据根的判别式△=b²-4ac来判断根的情况；
（2）两条边的长恰好是这个方程的两个根，则长是4的边可能是三角形的腰长，此时4是方程的一根，把x=4代入原方程求出k的值，当边长是4的边是底边时，方程有两个相等的实数根，此时b²-4ac=0，即可求得k的值．
点评：判断一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情况有三种：
①当b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
③当b²-4ac＜0时，方程没有实数根．
另外要学会根据根的情况解一元二次方程．