Question

3．已知：二次函数y=-x²+bx+c的图象过点A（-1，0）和C（0，2）．
（1）求二次函数的表达式及对称轴；
（2）将二次函数y=-x²+bx+c的图象在直线y=1上方的部分沿直线y=1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G，点M（m，y₁）在图象G上，且y₁≥0，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）和C（0，2）代入y=-x²+bx+c，根据待定系数法即可求得；
（2）求得翻折部分的解析式，然后令y=0，求得新函数图象G，与x轴的交点，根据图象即可求得．

解答 解：（1）把A（-1，0）和C（0，2）代入二次函数解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：b=1，c=2，
则二次函数解析式为y=-x²+x+2；
（2）顶点P（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）翻折后成为N（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$），
∴翻折部分的解析式为y=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
点M只能位于G的在y轴正半轴部分，
把y=0，代入y=-x²+x+2得-x²+x+2=0，
解得：x=2或x=-1，
把y=0，代入y=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$得，（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$=0，
解得x=1或x=0，
根据图象G，可得m的取值范围为-1≤m≤0或1≤m≤2．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，求得翻折后的函数的解析式是解题的关键．