Question

如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点．
（1）求证：△BCF≌△DCE；
（2）若∠BFC=90°，S_△CFG﹕S_△DEG=9﹕16，求tan∠FBC的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：计算题

分析：（1）由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质得到∠BCD为直角，BC=CD，根据三角形ECF为等腰直角三角形，得到∠FCE为直角，CF=CE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；
（2）由（1）的全等三角形，得到∠DEC=∠BFC=90°，进而确定出FC与DE平行，得到三角形CFG与三角形DEG相似，根据相似三角形面积之比等于相似比，求出相似比，再利用锐角三角函数定义即可求出所求式子的值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∵△ECF是等腰直角三角形，
∴∠FCE=90°，CF=CE，
∴∠BCD-∠FCD=∠ECF-∠FCD，即∠BCF=∠DCE，
在△BCF和△DCE中，

BC=CD ∠BCF=∠ECD CF=CE

，
∴△BCF≌△DCE（SAS）；
（2）由（1）知△BCF≌△DCE，
又∵∠BFC=90°，
∴∠DEC=∠BFC=90°，
∵∠FCE=90°，
∴FC∥DE，
∴∠CFG=∠DEG，
∵∠CGF=∠DGE，
∴△CFG∽△DEG，
∴

S△CFG

S△DEG

=（

FC

DE

）²=

9

16

，
∴

FC

DE

=

3

4

，
又由（1）知DE=BF，
∴

FC

BF

=

3

4

，
∵∠BFC=90°，
∴tan∠FBC=

FC

BF

=

3

4

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．