Question

7．计算：利用平方差公式有
（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}$-1）=1；
（$\sqrt{3}+\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）=1；
（2$+\sqrt{3}$）（2$-\sqrt{3}$）=1；
（$\sqrt{5}+2$）（$\sqrt{5}-2$）=1．
…
发现：$\sqrt{2}$+1的倒数是$\sqrt{2}$-1；$\sqrt{3}+\sqrt{2}$的倒数是$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；2$+\sqrt{3}$的倒数是2-$\sqrt{3}$；$\sqrt{5}$+2的倒数是$\sqrt{5}$-2；
…
猜想：$\sqrt{n+1}$$+\sqrt{n}$（n为正整数）的倒数是$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．
探究应用：计算：（$\sqrt{2015}$+1）（$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}$）的值．

Answer 1

分析 根据平方差公式，倒数和分母有理化的计算方法，分别对每一项进行计算即可得出答案．

解答 解：（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}$-1）=2-1=1；
（$\sqrt{3}+\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）=3-2=1；
（2$+\sqrt{3}$）（2$-\sqrt{3}$）=4-3=1；
（$\sqrt{5}+2$）（$\sqrt{5}-2$）=5-4=1，
$\sqrt{2}$+1的倒数是$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1；
（$\sqrt{2015}$+1）（$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}$）=（$\sqrt{2015}$+1）（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{3}$+…$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$）=（$\sqrt{2015}$+1）（$\sqrt{2015}$-1）=2015-1=2014．
故答案为：1，1，1，1，$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，2-$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$-2，$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，2014．

点评 此题考查了分母有理化，用到的知识点是平方差公式，倒数和分母有理化，关键是根据给出的数据找出相应的规律．