Question

如图，为测量小河的宽度，先在河岸边任意取一点A，再在河的另一岸取两点B、C，测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC长为20米．
（1）求小河的宽度（使用计算器的地区，结果保留三位有效数字；不使用计算器的地区，结果保留根号）；
（2）请再设计一种测量河宽度的方案，画出设计草图并作简要说明．

Answer 1

分析：（1）做AD⊥BC与D，设公共直角边为未知数，利用特殊的角的三角函数表示出组成BC的各边，相加等于BC的长度即可求得小河的宽度；
（2）取一点A，AB⊥BC，量取∠ACB=30°，再测量BC的长，则有AB=BC•tan30°．

解答：解：（1）过点A作AD⊥BC于点D．
在Rt△ABD中，∵∠ABC=45°，
∴BD=AD，
∵BC=20，
∴CD=BC-BD=20-AD，
在Rt△ACD中，∠ACD=30°，tan∠ACD=

AD

CD

，
∴AD=CDtan∠ACD，
即AD=

3

3

（20-AD），
∴AD=10（

3

-1）≈7.32（米）．
答：小河的宽度约为7.32米；

（2）先取点A，测量得∠ABC=90°处取点B，然后取∠ACB=30°，量出BC的长度即可．

点评：解此题的关键是把实际问题抽象到直角三角形中，利用公共边及特殊的三角函数求解．