Question

18．如图，射线BC∥射线OA，BO⊥OA，且OB=2，OA=4，过点A作AC⊥AB交射线BC于C，过点C作CD⊥射线OA交射线OA于D，A，E关于直线CD对称，将△CDE沿射线BC向左向右平移得到△C′D′E′．再将以A，B，C′，E′为顶点的四边形沿着C′D′剪开得到的两个图形拼成不重叠无缝隙的图形恰好是三角形，请写出所有符合上述条件的BC′的长6或1．

Answer 1

分析 分两种情形①当△CDE向右平移，D′与E重合时，以A，B，C′，E′为顶点的四边形沿着C′D′剪开得到的两个图形可以拼成不重叠无缝隙的图形恰好是三角形△BHC′，
②当△CDE向右平移，设BE′与C′D′相交于点H，△BHC′与△D′E′H全等时，以A，B，C′，E′为顶点的四边形沿着C′D′剪开得到的两个图形可以拼成不重叠无缝隙的图形恰好是三角形△AC′D′，分别求出BC′即可解决问题．

解答 解：如图1中，

当△CDE向右平移，D′与E重合时，以A，B，C′，E′为顶点的四边形沿着C′D′剪开得到的两个图形可以拼成不重叠无缝隙的图形恰好是三角形△BHC′，
理由：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵BO⊥OA，CD⊥AD，
∴∠O=∠CDA=90°，
∴∠BAO+∠OBA=90°，∠BAO+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠ABO，
∴△ABO∽△CAD，
∴$\frac{AO}{CD}$=$\frac{BO}{AD}$，∠BAO=∠ACD，
∴$\frac{4}{2}$=$\frac{2}{AD}$，
∴AD=DE=1，
∴C′D′=AE=2，∠BAO=∠HAE=∠D′C′E′，
∴以A，B，C′，E′为顶点的四边形沿着C′D′剪开得到的两个图形可以拼成不重叠无缝隙的图形恰好是三角形△BHC′，
此时BC′=OE=6．
如图2中，

当△CDE向右平移，设BE′与C′D′相交于点H，△BHC′与△D′E′H全等时，以A，B，C′，E′为顶点的四边形沿着C′D′剪开得到的两个图形可以拼成不重叠无缝隙的图形恰好是三角形△AC′D′，
当BC′=OD′=D′E′=1，∵D′H∥OB，
∴BH=HE′，
∴D′H=$\frac{1}{2}$OB=1=C′H，
∴BC′=C′H=HD′=D′E′，
∴△BC′H，△D′E′H都是等腰直角三角形，
此时△BC′H≌△E′D′H，
∴BC′=1，
综上所述BC′=6或1时，以A，B，C′，E′为顶点的四边形沿着C′D′剪开得到的两个图形可以拼成不重叠无缝隙的图形恰好是三角形．
故答案为6或1．

点评 本题考查图形的拼剪、平移变换、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，需要正确画出图形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．