Question

20．如图，已知?ABCD的对角线AC与 BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，与边AD、BC 分别交于点 E、F．求证：四边形AFCE是菱形．

Answer 1

分析 由?ABCD的对角线AC与 BD相交于点O，EF⊥AC，易得EF垂直平分AC，即可证得△AOE≌△COF，继而可得AE=CF，则可证得结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO，AD∥BC
又∵EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC，
∴AE=EC
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，AE∥CF，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠BCA}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是菱形．

点评 此题考查了菱形的判定、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△AOE≌△COF是解此题的关键．