Question

9．如图，抛物线y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，作垂直于x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交抛物线于N，当MN有最大值时，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

Answer 1

分析 抛物线y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2分别交y轴、x轴于A（0、2）、B（4、0））两点，利用待定系数法即可求得直线的解析式，假设x=t时，线段MN的长度是否存在最大值，可得M（t，-$\frac{1}{2}$t+2），N（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2），则可得MN=（-t²+$\frac{7}{2}$t+2）-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-t²+4t=-（t-2）²+4，然后根据平行四边形的性质求解即可求得答案．

解答 解：∵抛物线y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A（0、2）、B（4、0））两点，
∴设直线AB的解析式为y=kx+b，∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{k=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴直线为：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
假设x=t时，线段MN的长度存在最大值，
由题意易得：M（t，-$\frac{1}{2}$t+2），N（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2），
∴MN=（-t²+$\frac{7}{2}$t+2）-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，MN有最大值4；
由题意可知，D的可能位置有如图三种情形，
当D在y轴上时，
设D的坐标为（0，a）
由AD=MN得|a-2|=4，
解得a₁=6，a₂=-2，
∴D为（0，6）或D（0，-2）
当D不在y轴上时，由图可知D为D₁N与D₂M的交点，
∵直线D₁N的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+6，直线D₂M的解析式为：y=$\frac{3}{2}$x-2，
由两方程联立解得D为（4，4），
综上可得：所求的D为（0，6），（0，-2）或（4，4）．

点评 此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题以及平行四边形的性质等知识．此题难度较大，综合性强，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．