Question

【题目】已知△ABC为等边三角形，P是直线AC上一点，AD⊥BP于D，以AD为边作等边△ADE（D，E在直线AC异侧）．

（1）如图1，若点P在边AC上，连CD，且∠BDC=150°，则= ；（直接写结果）

（2）如图2，若点P在AC延长线上，DE交BC于F求证：BF=CF；

（3）在图2中，若∠PBC=15°，AB=，请直接写出CP的长 ．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）由题意可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，即可求∠EDC=60°，∠EDC=90°，则可得的值；

（2）过点CM∥BD交DE于点M，连接CE，由题意可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠AEC=∠ADB=90°，可求∠DEC=∠EMC=30°，可得MC=EC=BD，

则可证△BDF≌△CMF，可得BF=CF；

（3）作∠ABG=∠BAD，交AD于点G，由题意可求∠ABG=∠BAG=15°，可得∠BGD=30°，BG=AG，则可得BG=2BD，GD=BD，AD=BD+2BD，根据勾股定理可求BD=1，AD=2+，即可求AP的长，则可求CP的长．

（1）如图：连接CE

∵△ABC，△ADE是等边三角形,

∴AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC=60°,

∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE,

∴△ABD≌△ACE（SAS）,

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE,

∵∠ADB=90°，∠BDC=150°，∠ADE=60°,

∴∠EDC=60°,

∵∠BDC=∠BPC+∠ACD=∠BAC+∠ABD+∠ACD=60°+∠ACE+∠ACD=60°+∠ECD=150°

∴∠ECD=90°,

∴tan∠EDC=,

∴；

（2）如图：过点CM∥BD交DE于点M，连接CE

∵△ABC和△ADE是等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°=∠ADE=∠AED，

∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（ASA），

∴BD=CE，∠AEC=∠ADB=90°，

∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠DEC=∠AEC-∠AED，

∴∠BDE=150°，∠DEC=30°，

∵MC∥BD，

∴∠DMC=∠BDE=150°，

∴∠EMC=30°，

∴∠DEC=∠EMC，

∴MC=CE，

∴BD=CM，且∠BDE=∠CMD，∠BFD=∠CFM，

∴△BDF≌△CMF（AAS），

∴CF=BF，

（3）如图：作∠ABG=∠BAD，交AD于点G

∵∠ABC=60°，∠PBC=15°，AD⊥BD，

∴∠DAB=15°，

∵∠ABG=∠BAD，

∴∠ABG=∠BAG=15°，

∴∠BGD=30°，BG=AG，

∴BG=2BD，GD=BD，

∴AD=BD+2BD，

在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2．

∴（+）2=（+2）2 BD2+BD2．

∴BD=1，

∴AD=2+，

∵∠BAD=15°，∠BAC=60°，

∴∠DAP=45°，且AD⊥BD，

∴AP=AD=2+，

∵CP=AP-AC=AP-AB=2+-（+），

∴CP=.

故答案为.