Question

理解：我们知道：

a•a…a

n个

=aⁿ，

am•an

m个

=

a•a…a•a•a…a

n个

=a^m+n，（a^m）ⁿ=

am•am…am

n个

=a 

m+m+…m

n个

=a^mn，上述式子反之亦成立，请解决下列问题．
（1）若x^m+2•x^m+3=x⁹成立，求m的值；
（2）若2^x=3，2^y=5，求2^3x+2y+2的值；
（3）若2^x×4^2x×8^3x=2²⁸，求x的值；
（4）比较2³⁰⁰与3²⁰⁰的大小．

Answer 1

考点：同底数幂的乘法,幂的乘方与积的乘方,解一元一次方程

专题：

分析：（1）根据同底数幂的乘法，可得相同的幂，根据底数相同、幂相同，可得指数相同；
（2）根据幂的乘方，可得要求的指数幂，根据同底数幂的乘法，可得答案；
（3）根据幂的乘方，可化成同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得答案；
（4）根据幂的乘方，可化成指数相同的幂，根据指数相同底数越大幂越大，可得答案．

解答：解：（1）由x^m+2•x^m+3=x⁹，得x^m+2+m+3=x⁹．
由底数相同、幂相同，得m+2+m+3=9．解得m=2；
（2）由2^x=3，2^y=5，得2^3x=27，2^2y=25，
2^3x+2y+2=2^3x×2^2y×2²=27×25×4=2700；
（3）由2^x×4^2x×8^3x=2²⁸，得
2^x×2^4x×2^9x=2²⁸．
2^x+4x+9x=2²⁸，即x+4x+9x=28．
解得x=2；
（4）2³⁰⁰=8¹⁰⁰，3²⁰⁰=9¹⁰⁰，
指数相同底数越大幂越大，得
2³⁰⁰＜3²⁰⁰．

点评：本题考查了同底数幂的乘法，（1）利用了同底数幂的乘法，（2）先化成同底数幂的幂乘法再进行同底数幂的乘法运算，（3）先化成同底数幂的幂乘法再进行同底数幂的乘法运算；（4）先化成同指数的幂，再进行同指数幂的大小比较．