如图(1),在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=
(0°<
<90°).
(1)求证: ∠EAP=∠EPA;
(2) APCD是否为矩形?请说明理由;
(3)如图(2),F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证明你的结论.
证明:(1)在△ABC和△AEP中, ∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP,
∠ACB=∠APE,
在△ABC中,AB=BC.∠ACB=∠BAC,
∠EPA=∠EAP,
(2) APCD是矩形.
四边形APCD是平行四边形,
AC=2EA,PD=2EP.
由(1)知, ∠EPA=∠EAP.EA=EP,进而AC=PD
APCD是矩形.
(3)EM=EN EA=EP,
∠EPA=90° -
∠EAM=180°-∠EAP =180°-∠EPA= 180°-(90°-
)=90°+
由(2)知, ∠CPB=90°,F是BC的中点, FP=FB,
∠FPB=∠ABC=
,
∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90° -
+
=90°+
∠EAM=∠EPN
∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN,
∠AEP-∠AEN =∠MEN-∠AEN,即∠MEA=∠NEP.
△EAM≌△EPN,
EM=EN.
解析
科目:初中数学 来源: 题型:
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