Question

15．材料阅读：
将分式$\frac{{x}^{2}+2x-5}{x+3}$拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解：由分母为x+3，可设x²+2x-5=（x+3）（x+a）+b，
则由x²+2x-5=（x+3）（x+a）+b=x²+ax+3x+3a+b=x²+（a+3）x+（3a+b）．
∵对于任意x，上述等式均成立，∴$\left\{\begin{array}{l}{a+3=2}\\{3a+b=-5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴$\frac{{x}^{2}+2x-5}{x+3}$=$\frac{（x+3）（x-1）-2}{x+3}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{x+3}$-$\frac{2}{x+3}$=x-1-$\frac{2}{x+3}$
这样，分式$\frac{{x}^{2}+2x-5}{x+3}$就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
（1）将分式$\frac{{x}^{2}+3x+6}{x-1}$拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
（2）将分式$\frac{-2{x}^{4}-{x}^{2}+5}{-{x}^{2}+1}$拆分成整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．

Answer 1

分析 （1）、（2）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．

解答 解：（1）由分母为x-1，可设x²+3x+6=（x-1）（x+a）+b，
则x²+3x+6=（x-1）（x+a）+b=x²+（a-1）x+（b-a）．
∵对于任意x，上述等式均成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=3}\\{b-a=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{x}^{2}+3x+6}{x-1}$=$\frac{（x-1）（x+4）+10}{x-1}$=x+4+$\frac{10}{x-1}$；
（2）由分母为-x²+1，可设-2x⁴-x²+5=（-x²+1）（2x²+a）+b，
则由-2x⁴-x²+5=（-x²+1）（2x²+a）+b=-2x⁴+2x²-ax²+a+b=-2x⁴+（2-a）x²+（a+b）．
∵对于任意x，上述等式均成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-a=-1}\\{a+b=5}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴$\frac{-2{x}^{4}-{x}^{2}+5}{-{x}^{2}+1}$=$\frac{（-{x}^{2}+1）（2{x}^{2}+3）+2}{-{x}^{2}+1}$=2x²+3+$\frac{2}{-{x}^{2}+1}$．

点评 本题考查的是分式的加减法运算，读懂阅读材料、掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．