Question

7．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA=3，OB=5，点D为y轴上一点，其坐标为（0，1），点P在线段AC上运动，当点P与点A重合时停止运动．
（1）点P在运动过程中，当△BDP为直角三角形时，请直接写出此时点P的坐标；
（2）当点D关于OP的对称点落在x轴上时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出BD的长，然后分∠DBP和∠BPD是直角两种情况求出AP，再写出点P的坐标即可；
（2）根据轴对称的性质可得∠BOP=∠AOP，然后判断出△AOP是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AP=AO，然后写出点P的坐标即可．

解答 解：（1）∵OB=5，D（0，1），
∴BD=5-1=4，
若∠DBP=90°，则AP=AC=5，
点P的坐标为（3，5），
若∠BPD=90°，则AP=OD=1，
点P的坐标为（3，1），
以BD为直径作圆显然与AC没有交点，所以∠DPB不可能是90°，
综上所述，△BDP为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（3，1）；

（2）∵点D关于OP的对称点落在x轴上，
∴∠BOP=∠AOP=45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴AP=AO=3，
∴点P的坐标为（3，3）．

点评 此题考查了勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于（1）分情况讨论，（2）判断出△AOP是等腰直角三角形．