Question

【题目】阅读理解：

（1）如图（1），等边△ABC内有一点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则∠APB= ．
分析：由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌ ， 这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图（2），△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：BE2+CF2=EF2 ．

Answer 1

【答案】
（1）150°；△ABP
（2）

解：把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．

则△ACF≌△ABG．

∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．

∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．

∴∠GAE=∠EAF=45°，

在△AEG和△AFE中，

∵

∴△AEG≌△AFE（SAS）．

∴EF=EG，

又∵∠GBE=90°，

∴BE2+BG2=EG2，

即BE2+CF2=EF2．则三角形是直角三角形．

【解析】解：（1）将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，
∴△BAP≌△CAP′，
∴AB=AC，AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，
∴∠BAC=∠PAP′=60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠APP′=60°，
因为B P P′不一定在一条直线上
连接PC，
∴P′C=PB=4，PP′=PA=3，PC=5，
∴∠PP′C=90°，
∴△PP′C是直角三角形，
∴∠APB=∠AP′C=∠APP′+∠P′PC=60°+90°=150°，
∴∠BPA=150°；
故答案是：150°，△ABP；
【考点精析】利用全等三角形的性质和勾股定理的概念对题目进行判断即可得到答案，需要熟知全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．