Question

18．如图示二次函数y=ax²+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（-1，0）与点C（x₂，0），且与y轴交于点B（0，-2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②-1＜b＜0；③c=-1；④当|a|=|b|时x₂＞$\sqrt{5}$-1；以上结论中正确结论的序号为①④．

Answer 1

分析 根据抛物线与y轴交于点B（0，-2），可得c=-2，依此判断③；由抛物线图象与x轴交于点A（-1，0），可得a-b-2=0，依此判断①②；由|a|=|b|可得二次函数y=ax²+bx+c的对称轴为x=$\frac{1}{2}$，可得x₂=2，比较大小即可判断④；从而求解．

解答 解：由A（-1，0），B（0，-2），得b=a-2，
∵开口向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴-$\frac{b}{2a}$＞0，
∴-$\frac{a-2}{2a}$＞0，
∴a-2＜0，
∴a＜2；
∴0＜a＜2；
∴①正确；
∵抛物线与y轴交于点B（0，-2），
∴c=-2，故③错误；
∵抛物线图象与x轴交于点A（-1，0），
∴a-b-2=0，
∵0＜a＜2，
∴0＜b+2＜2，
-2＜b＜0，故②错误；
∵|a|=|b|，二次函数y=ax²+bx+c的对称轴在y轴的右侧，
∴二次函数y=ax²+bx+c的对称轴为x=$\frac{1}{2}$，
∴x₂=2＞$\sqrt{5}$-1，故④正确．
故答案为：①④．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．