Question

19．证明：过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边．

Answer 1

分析 根据平行四边形的判定与性质，可得BD与CF的关系，根据平行线的性质，可得内错角相等，再根据全等三角形的判定与性质，可得答案．

解答 已知：D是AB的中点，DE∥BC，求证：AE=CE．
证明：如图延长DE至F点使DF=BC，连接CF，
∵DF∥BC，DF=BC，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴BD=CF，BD∥CF，
∴∠ADE=∠EFC，∠A=∠FCE．
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
CF=AD．
在△ADE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FCE}\\{AD=CF}\\{∠ADE=∠CFE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFE  （ASA），
∴AE=CE．

点评 本题考查了三角形中位线定理，利用了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．