Question

3．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为AD上两点，AE=EF=FD，连接BE、CF并延长，交于点G，GB=GC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若△GEF的面积为2．
①求四边形BCFE的面积；
②四边形ABCD的面积为24．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB=DC，AB∥CD于是得到BE=CF，根据全等三角形的性质得到∠A=∠D，根据平行线的性质得到∠A+∠D=180°，由矩形的判定定理即可得到结论；
（2）①根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△GEF}}{{S}_{△GBC}}$=（$\frac{EF}{BC}$）²=$\frac{1}{9}$，求得△GBC的面积为18，于是得到四边形BCFE的面积为16；
②根据四边形BCFE的面积为16，列方程得到BC•AB=24，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵GB=GC，
∴∠GBC=∠GCB，
在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC，AB=DC，AB∥CD，
∴GB-GE=GC-GF，
∴BE=CF，
在△ABE与△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{∠AEB=∠DFC}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF，
∴∠A=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠A=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形；

（2）①∵EF∥BC，
∴△GFE∽△GBC，
∵EF=$\frac{1}{3}$AD，
∴EF=$\frac{1}{3}$BC，
∴$\frac{{S}_{△GEF}}{{S}_{△GBC}}$=（$\frac{EF}{BC}$）²=$\frac{1}{9}$，
∵△GEF的面积为2，
∴△GBC的面积为18，
∴四边形BCFE的面积为16，；
②∵四边形BCFE的面积为16，
∴$\frac{1}{2}$（EF+BC）•AB=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$BC•AB=16，
∴BC•AB=24，
∴四边形ABCD的面积为24，
故答案为：24．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，证得△GFE∽△GBC是解题的关键．