Question

已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．

Answer 1

分析：首先证明出∠ABD=∠ACE，再有条件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，进而得到∠F=∠BAQ，然后再根据∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，进而证出AF⊥AQ．

解答：证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，
∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABQ和△ACF中

AB=CF ∠ABD=∠ACE BQ=AC

，
∴△ABQ≌△ACF（SAS），
∴∠F=∠BAQ，
∵∠F+∠FAE=90°，
∴∠BAQ+∠FAE═90°，
∴AF⊥AQ．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质定理．