Question

【题目】若直线 y mx 8 和 y nx 3 都经过 x 轴上一点 B，与 y 轴分别交于 A 、C．

（1）写出 A、C 两点的坐标，A ，C ；

（2）若∠ABO=2∠CBO，求直线 AB 和 CB 的解析式；

（3）在（2）的条件下若另一条直线过点 B，且交 y 轴于 E，若△ABE 为等腰三角形，写点 E 的坐标（只写结果）．

Answer 1

【答案】（1）（0，8），（0，3）；（2）直线AB：yx+8，直线CB：yx+3；（3）E的坐标为（0，18）或 （0，-2）或 （0，-8）或 （0，）．

【解析】

（1）由两条直线解析式直接求出A、C两点坐标；

（2）由直线y=mx+8得B（，0），即OB，而AO=8，利用勾股定理求AB，根据角平分线性质得比例求m的值，再根据直线BC与x轴的交点为B求n即可；

（3）根据（2）的条件，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧与y轴相交，作AB的垂直平分线与y轴相交，分别求交点坐标．

（1）在y=mx+8和y=nx+3中，令x=0，得A（0，8），C（0，3）．

故答案为：（0，8），（0，3）；

（2）令直线y=mx+8中y=0，得B（，0），即OB，又AO=8，∴AB8．

∵∠ABO=2∠CBO，∴，即245，解得m，又由y=nx+3经过点B，得，解得n，∴直线AB：yx+8，直线CB：yx+3；

（3）由（2）可知OB=6，AB10，当△ABE为等腰三角形时，分三种情况讨论：

①以A为圆心，AB为半径画圆，与y轴交于两点E1，E2，则AE1=AE2=AB=10，∴E1（0，18），E2（0，-2）；

②以B为圆心，AB为半径画圆，与y轴交于点E3，则OE3=OA=8，∴E3（0，-8）；

③作线段AB的垂直平分线交y轴于E4，设E4（0，y），∴AE4=BE4，∴，解得：y=，∴E4（0，）．

综上所述：E的坐标为（0，18）或 （0，-2）或 （0，-8）或 （0，）．