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26、如图1,⊙O1和⊙O2内切于点P.C是⊙O1上任一点(与点P不重合).
实验操作:将直角三角板的直角顶点放在点C上,一条直角边经过点O1,另一直角边所在直线交⊙O2于点A、B,直线PA、PB分别交⊙O1于点E、F,连接CE(图2是实验操作备用图).
探究:(1)你发现弧CE、弧CF有什么关系?用你学过的知识证明你的发现;
(2)作发现线段CE、PE、BF有怎样的比例关系?证明你的发现.
(3)附加题:如图3,若将上述问题的⊙O1和⊙O2由内切改为外切,其它条件不变,请你探究线段CE、PE、BF有怎样的比例关系,并说明.
分析:(1)作过点P的切线SP,则由弦切角定理知,∠SPA=∠EFP=∠B,故有EF∥AB;由于AB是圆O1的切线,故有GC⊥AB,所以由垂径定理知,弧CE=弧CF;
(2)可证得△PEC∽FCB,则PE:CF=CE:BF,即CE2=PE•FB;
(3)可证得△BCF∽△PCE,则BF:CE=CF:PE,即CE2=PE•FB.
解答:解:(1)设过CO1的直径为CG,作过点P的切线SP.
由题意知,AB是圆O1的切线,则有GC⊥AB.
∵SP是两圆的切线,
∴由弦切角定理知,∠SPA=∠EFP=∠B.
∴EF∥AB,
∴GC⊥EF,
∴由垂径定理知,点C是弧ECF的中点,故有弧CE=弧CF;

(2)如图,连接CE,CF,PC.
由(1)知,弧CE=弧CF,EF∥AB,
∴∠B=∠2,∠3=∠4,CE=CF,
∴∠1=∠2.
又∵∠BCF=∠4=∠3,
∴△PEC∽FCB,
∴PE:CF=CE:BF,即CE2=PE•FB;

(3)如图,设CG是圆O1的直径,作过点P的切线SH,连接CE,CF,PC.
∵∠HPE=∠PFE,∠SPA=∠B,∠SPA=∠HPE,
∴∠B=∠BFE,
∴EF∥CB,
∵CB是圆O1的切线,
∴CG⊥CB,
∴CG⊥EF,
∴弧CF=弧CE,有CF=CF.
∵∠B=∠HPE=∠PCE,∠CFB=∠CEP,
∴△BCF∽△PCE,
∴BF:CE=CF:PE,即CE2=PE•FB.
点评:本题利用了切线的性质,平行线的判定和性质,圆周角定理,垂径定理,弦切角定理,相似三角形的判定和性质求解.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

精英家教网阅读下列材料:
如图1,⊙O1和⊙O2外切于点C,AB是⊙O1和⊙O2外公切线,A、B为切点,
求证:AC⊥BC
证明:过点C作⊙O1和⊙O2的内公切线交AB于D,
∵DA、DC是⊙O1的切线
∴DA=DC.精英家教网
∴∠DAC=∠DCA.
同理∠DCB=∠DBC.
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°,
∴∠DCA+∠DCB=90°.
即AC⊥BC.
根据上述材料,解答下列问题:
(1)在以上的证明过程中使用了哪些定理?请写出两个定理的名称或内容;
(2)以AB所在直线为x轴,过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系(如图2),已知A、B两点的坐标为(-4,0),(1,0),求经过A、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的函数解析式;
(3)根据(2)中所确定的抛物线,试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O1O2上,并说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,⊙O1和⊙O2内切于点P,⊙O2的弦BE与⊙O1相切于C,PB交⊙精英家教网O1于D,PC的延长线交⊙O2于A,连接AB,CD,PE.
(1)求证:①∠BPA=∠EPA;②
AB
AC
=
BC
BD

(2)若⊙O1的切线BE经过⊙O2的圆心,⊙O1、⊙O2的半径分别是r、R,其中R≥2r,如图2,求证:PC•AC是定值.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•南京)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成,如图,在⊙O1和扇形O2CD中,⊙O1与O2C、O2D分别切于点A、B,已知∠CO2D=60°,E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点,且EF=24cm,设⊙O1的半径为xcm.
(1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径;
(2)若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2,当⊙O1的半径为多少时,该玩具的制作成本最小?

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科目:初中数学 来源:2013届江西省景德镇市九年级第三次质检数学试卷(带解析) 题型:解答题

某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成,如图,在⊙O1和扇形O2CD中,⊙O1与O2C、O2D分别相切于A、B,∠CO2D=60°,直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD分别交于E、F两个点,EF=24cm,设⊙O1的半径为xcm,

(1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径;
(2)若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06/cm2元,当⊙O1的半径为多少时,该玩具成本最小?

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