【题目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,△ABD和△AFD关于直线AD对称,∠FAC的平分线交BC于点G,连接FG.
(1)求∠DFG的度数;
(2)设∠BAD=θ,
①当θ为何值时,△DFG为等腰三角形;
②△DFG有可能是直角三角形吗?若有,请求出相应的θ值;若没有,请说明理由.
【答案】(1)80°;(2)①10°,25°或40°;②5°或45°.
【解析】
试题分析:(1)由轴对称可以得出△ADB≌△ADF,就可以得出∠B=∠AFD,AB=AF,在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C,就可以求出∠DFG的值;
(2)①当GD=GF时,就可以得出∠GDF═80°,根据∠ADG=40+θ,就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论;当DF=GF时,就可以得出∠GDF=50°,就有40°+50°+40°+2θ=180°,当DF=DG时,∠GDF=20°,就有40°+20°+40°+2θ=180°,从而求出结论;
②由已知条件可以得出∠DFG=80°,当∠GDF=90°时,就有40°+90°+40°+2θ=180°就可以求出结论,当∠DGF=90°时,就有∠GDF=10°,得出40°+10°+40°+2θ=180°求出结论.
试题解析:(1)∵AB=AC,∠BAC=100°,
∴∠B=∠C=40°.
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称,
∴△ADB≌△ADF,
∴∠B=∠AFD=40°,AB=AF∠BAD=∠FAD=θ,
∴AF=AC.
∵AG平分∠FAC,
∴∠FAG=∠CAG.
在△AGF和△AGC中,
AF=AC,∠FAG=∠CAG,AG=AG,
∴△AGF≌△AGC(SAS),
∴∠AFG=∠C.
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG,
∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°.
答:∠DFG的度数为80°;
(2)①当GD=GF时,
∴∠GDF=∠GFD=80°.
∵∠ADG=40°+θ,
∴40°+80°+40°+θ+θ=180°,
∴θ=10°.
当DF=GF时,
∴∠FDG=∠FGD.
∵∠DFG=80°,
∴∠FDG=∠FGD=50°.
∴40°+50°+40°+2θ=180°,
∴θ=25°.
当DF=DG时,
∴∠DFG=∠DGF=80°,
∴∠GDF=20°,
∴40°+20°+40°+2θ=180°,
∴θ=40°.
∴当θ=10°,25°或40°时,△DFG为等腰三角形;
②当∠GDF=90°时,
∵∠DFG=80°,
∴40°+90°+40°+2θ=180°,
∴θ=5°.
当∠DGF=90°时,
∵∠DFG=80°,
∴∠GDF=10°,
∴40°+10°+40°+2θ=180°,
∴θ=45°
∴当θ=5°或45°时,△DFG为直角三角形.
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【题目】如图,已知,A(0,4),B(﹣3,0),C(2,0),D为B点关于AC的对称点,反比例函数y= 的图象经过D点.
(1)证明四边形ABCD为菱形;
(2)求此反比例函数的解析式;
(3)已知在y=的图象(x>0)上一点N,y轴正半轴上一点M,且四边形ABMN是平行四边形,求M点的坐标.
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【题目】□ABCD中,E、F是对角线BD上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A. BE=DF B. AE=CF C. AF//CE D. ∠BAE=∠DCF
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【题目】按要求作答
(1)不用画图,请直接写出三角形ABC关于 x轴对称的图形三角形A1B1C1的三个顶点的坐标A1 B1 C1
(2)请画出三角形ABC关于y轴对称的三角形A’B’C’(其中 A’、B’、C’别是A、 B 、C 的对应点,不写作法)
(3)求三角形ABC的面积
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【题目】一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05m,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是( )
A. 此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5
B. 篮圈中心的坐标是(4,3.05)
C. 此抛物线的顶点坐标是(3.5,0)
D. 篮球出手时离地面的高度是2m
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【题目】(1)阅读理解:
如图①,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB、AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断.
中线AD的取值范围是 ;
(2)问题解决:
如图②,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF;
(3)问题拓展:
如图③,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=140°,以为顶点作一个70°角,角的两边分别交AB,AD于E、F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.
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【题目】为了创建全国卫生城市,某社区要清理一个卫生死角内的垃圾,租用甲、乙两车运送,两车各运12趟可完成,需支付运费4800元.已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾,乙车所运趟数是甲车的2倍,且乙车每趟运费比甲车少200元.
(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟?
(2)若单独租用一台车,租用哪台车合算?
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