Question

如图，已知双曲线y=

k

x

与直线y=

1

4

x相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=

k

x

上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，-n）作NC∥x轴交双曲线y=

k

x

于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是（-8，0），求A、B两点坐标及k的值．
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值．

Answer 1

分析：（1）由BD∥y轴，可知B点与D点的横坐标相等，将x=-8代入直线y=

1

4

x，即可求出点B的坐标；再根据A点与B点关于原点对称，求出A点坐标；
（2）先由B是CD中点，D点纵坐标为0，可知B点纵坐标是C点纵坐标的

1

2

，即为-

n

2

，又B点在直线y=

1

4

x上，把y=-

n

2

代入直线y=

1

4

x，得B点横坐标为-2n，从而可用含n的代数式表示k及E点的坐标，然后根据四边形OBCE的面积=矩形ODCN面积-直角三角形ODB的面积-直角三角形ONE的面积，列出关于n的方程，解方程求出n的值，即可得出C、M两点的坐标，最后运用待定系数法求出直线CM的解析式；
（3）由于点M（m，n）在双曲线y=

k

x

上，得出k=mn，再联立双曲线y=

mn

x

与直线y=

1

4

x，求出A、B两点的坐标，由MA=pMP，MB=qMQ求出p、q，从而得出p-q的值．

解答：解：（1）将x=-8代入直线y=

1

4

x，
得y=-2．
∴点B坐标（-8，-2），--（1分）
将点B坐标（-8，-2）代入y=

k

x

得：
k=xy=16．--（2分）
∵A点是B点关于原点的对称点，
∴A点坐标为（8，2）．--（3分）

（2）∵B是CD中点，C点纵坐标为-n，
∴B点纵坐标为-

n

2

，
把y=-

n

2

代入直线y=

1

4

x，得B点横坐标为-2n，
∴D点坐标（-2n，0），B点坐标（-2n，-

n

2

），C点坐标（-2n，-n）．--（4分）
∴k=（-2n）×（-

n

2

）=n²．
将E点纵坐标-n代入方程y=n²/x，得其横坐标-n．
∵四边形OBCE的面积=矩形ODCN面积-Rt△ODB的面积-Rt△ONE的面积，
∴4=2n²-

1

2

n²-

1

2

n²，
解得n=2．--（5分）
所以C点坐标（-4，-2），M点坐标（2，2）--（6分）
设直线CM的解析式为y=kx+b，则

-4k+b=-2 2k+b=2

，
解得

k= 2 3 b= 2 3

．
∴直线CM解析式为y=

2

3

x+

2

3

．--（7分）

（3）将点M的坐标（m，n）代入双曲线方程得：k=mn．
双曲线y=

mn

x

与直线y=

1

4

x联立，
解得A点坐标（2

mn

，

mn

2

），B点坐标（-2

mn

，-

mn

2

），
∴MA=

(2 mn) -m)2+( mn 2 -n)2

，
MP=

MH2+HP2

，
∵MA=pMP，MB=qMQ，
∴p=

MA

MP

=

2 mn -m

m

，--（9分）
q=

MB

MQ

=

2 mn +m

m

，--（11分）
∴p-q=

2 mn -m

m

-

2 mn +m

m

=-2．--（12分）

点评：此题综合考查了反比例函数，正比例函数等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．