分析 (1)连接OD,根据等腰三角形的性质即可求得∠C=∠ODB,进而求得∠C+∠EDC=∠ODB+∠EDC=90°,即∠ODE=90°,即可证得DE是⊙O的切线;
(2)连接OT,证得四边形ODET是正方形,得出DE=ET=r=3,设AB=AC=x,则AT=9-3-x=6-x,OA=r+x=3+x,然后根据勾股定理得出(3+x)=32+(6-x)2,解方程即可求得AB的长.
解答 (1)证明:连接OD,
∵AB=AC,OB=OD,
∴∠C=∠ABC,∠OBD=∠ODB,
∵∠ABC=∠OBD,
∴∠C=∠ODB,
∵DE⊥AC,
∴∠C+∠EDC=90°,
∴∠ODB+∠EDC=90°,
即∠ODE=90°,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:连接OT,
∵⊙O与直线AC切于点T,
∴OT⊥AE,
∵∠ODC=∠E=90°,
∴四边形ODET是矩形,
∵OD=OT,
∴四边形ODET是正方形,
∴DE=ET=r=3,
设AB=AC=x,则AT=EC-ET-AC=9-3-x=6-x,OA=r+x=3+x,
在RT△OAT中,OA2=OT2+TA2,
即(3+x)=32+(6-x)2,
解得x=2,
∴AB=2.
点评 本题考查了切线的判定和性质,等腰三角形的性质以及正方形的判定和性质,勾股定理的应用等,作出辅助线,证得四边形ODET是正方形是解题的关键.
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x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | … | |
y | … | 0.5 | 0 | 0.5 | 2 | … |
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A. | 20 | B. | 14 | C. | 13 | D. | 12 |
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