Question

12．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，3），反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点D，点P是一次函数y=mx+3-4m（m≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点；
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算说明一次函数y=mx+3-4m的图象一定过点C；
（3）对于一次函数y=mx+3-4m（m≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围，（不必写过程）

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC=2，AD∥y轴，进而得出D（1，2），再根据反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点D，可得反比例函数的解析式；
（2）在一次函数y=mx+3-4m中，当x=4时，y=3，据此可得一次函数y=mx+3-4m的图象一定过点C；
（3）过C（4，3）作y轴的垂线，交双曲线于E，作x轴的垂线，交双曲线于F，根据一次函数y=mx+3-4m的图象一定过点C（4，3），且y随x的增大而增大，可知直线y=mx+3-4m与双曲线的交点P落在EF之间的双曲线上，据此可得点P的横坐标的取值范围．

解答 解：（1）∵B（4，1），C（4，3），
∴BC∥y轴，BC=2，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，AD∥y轴，而A（1，0），
∴D（1，2），
∴由反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点D，可得k=1×2=2，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$；

（2）∵在一次函数y=mx+3-4m中，当x=4时，y=4m+3-4m=3，
∴一次函数y=mx+3-4m的图象一定过点C（4，3）；

（3）点P的横坐标的取值范围：$\frac{2}{3}$＜x＜4．
如图所示，过C（4，3）作y轴的垂线，交双曲线于E，作x轴的垂线，交双曲线于F，
当y=3时，3=$\frac{2}{x}$，即x=$\frac{2}{3}$，
∴点E的横坐标为$\frac{2}{3}$；
由点C的横坐标为4，可得F的横坐标为4；
∵一次函数y=mx+3-4m的图象一定过点C（4，3），且y随x的增大而增大，
∴直线y=mx+3-4m与双曲线的交点P落在EF之间的双曲线上，
∴点P的横坐标的取值范围是$\frac{2}{3}$＜x＜4．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．解题时可以从动态的角度看待点P的位置．