Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AC、BC上，BD、AE交于点F，连接FC，∠BAC=∠BFE=2∠EFC．
（1）如图1，当∠BAC=90°时，则线段BF与CF的数量关系为BF=$\sqrt{2}$CF；
（2）如图2，当∠BAC=60°时，求证：BF=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$FC；
（3）如图3，在（2）的条件下，将△ACE沿AE翻折，使点C与点G重合，AG分别交BC、BD于M、N，若MG=$\sqrt{7}$，求FC的长．

Answer 1

分析 （1）结论：BF=$\sqrt{2}$CF，如图1中，将△AEC沿AE折叠得到△AEG，连接GF、GE，延长AE、BG交于点H，连接CH，只要证明△BFH是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）如图2中，将△AEC沿AE折叠得到△AEG，连接GF、GE，延长AE、BG交于点H，连接CH，只要证明△BFH是等边三角形即可．
（3）首先证明∠FCH=90°，由BF∥CH，得$\frac{CH}{BF}$=$\frac{CE}{BE}$，由FH=2CH，推出BE=2CE，设EC=EG=a，则BC=AC=AG=3a，由△MGE∽△MBE，推出$\frac{EG}{AB}$=$\frac{MG}{MB}$=$\frac{1}{3}$，推出BM=3$\sqrt{7}$，由$\frac{EM}{AM}$=$\frac{MG}{MB}$，推出AM=3ME，列出方程即可求出a，由（2）可知BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CF，设CF=x，则BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，在RT△BFC中，根据BF²+CF²=BC²，列出方程即可解决问题．

解答 （1）解：结论：BF=$\sqrt{2}$CF，
理由：如图1中，将△AEC沿AE折叠得到△AEG，连接GF、GE，延长AE、BG交于点H，连接CH．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACE=∠AGE=∠ABE，
∴A、B、G、E四点共圆，
∴∠GBE=∠GAE=∠CAE，
∴A、B、H、C四点共圆，
∴∠AHB=∠ACB=45°，
∵∠BFH=∠BAC=90°，
∴∠FBH=∠FHB=45°，
∵∠CFE=∠HFG=45°，
∴∠GFB=∠GFH=45°，
∴FG⊥BH，
在RT△BFG中，∵∠FBG=∠BFG=45°，
∴tan45°=$\frac{FG}{BF}$，
∴BF=$\sqrt{2}$FG，
∵FG=FC
∴BF=$\sqrt{2}$CF．
故答案为BF=$\sqrt{2}$CF．
（2）证明：如图2中，将△AEC沿AE折叠得到△AEG，连接GF、GE，延长AE、BG交于点H，连接CH．
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠ACE=∠AGE=∠ABE，
∴A、B、G、E四点共圆，
∴∠GBE=∠GAE=∠CAE，
∴A、B、H、C四点共圆，
∴∠AHB=∠ACB=60°，
∵∠BFH=∠BAC=60°，
∵∠CFE=∠HFG=30°，
∴∠BFG=∠GFH=30°，
∴FG⊥BH，
在RT△BFG中，∵sin60°=$\frac{FG}{BF}$，
∴BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$FG，
∵FG=FC，
∴BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CF．
（3）如图2中，由（2）可知△BFH是等边三角形，
∵A、B、H、C四点共圆，
∴∠AHC=∠ABC=60°，
∵∠HFC=30°，
∴∠FCH=90°，
∵∠BFC+∠HCF=180°，
∴BF∥CH，
∴$\frac{CH}{BF}$=$\frac{CE}{BE}$，
∵FH=2CH，
∴BE=2CE，设EC=EG=a，则BC=AC=AG=3a，
∵∠ABM=∠MGE，∠BMA=∠GME，
∴△MGE∽△MBE，
∴$\frac{EG}{AB}$=$\frac{MG}{MB}$=$\frac{1}{3}$，
∵GM=$\sqrt{7}$，
∴BM=3$\sqrt{7}$，
∵$\frac{EM}{AM}$=$\frac{MG}{MB}$，
∴AM=3ME，
∴3a-$\sqrt{7}$=3（3a-3$\sqrt{7}$-a），
∴a=$\frac{8}{3}$$\sqrt{7}$，
∴BC=3a=8$\sqrt{7}$，
由（2）可知BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CF，设CF=x，则BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
在RT△BFC中，∵BF²+CF²=BC²，
∴（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x）²+x²=（8$\sqrt{7}$）²，
解得x=±8$\sqrt{3}$，
∵x＞0，
∴x=8$\sqrt{3}$，
∴CF=8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查翻折变换、四点共圆、等边三角形、等腰直角三角形的性质、30度角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻折变换添加辅助线，学会利用参数解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．