【题目】如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接DG,过点A作AH∥DG,交BG于点H.连接HF,AF,其中AF交EC于点M.
(1)求证:△AHF为等腰直角三角形.
(2)若AB=3,EC=5,求EM的长.
【答案】(1)见解析;(2)EM=
【解析】
(1)通过证明四边形AHGD是平行四边形,可得AH=DG,AD=HG=CD,由“SAS”可证△DCG≌△HGF,可得DG=HF,∠HFG=∠HGD,可证AH⊥HF,AH=HF,即可得结论;
(2)由题意可得DE=2,由平行线分线段成比例可得 ,即可求EM的长.
证明:(1)∵四边形ABCD,四边形ECGF都是正方形
∴DA∥BC,AD=CD,FG=CG,∠B=∠CGF=90°
∵AD∥BC,AH∥DG,
∴四边形AHGD是平行四边形
∴AH=DG,AD=HG=CD,
∵CD=HG,∠ECG=∠CGF=90°,FG=CG,
∴△DCG≌△HGF(SAS),
∴DG=HF,∠HFG=∠HGD
∴AH=HF,
∵∠HGD+∠DGF=90°,
∴∠HFG+∠DGF=90°
∴DG⊥HF,且AH∥DG,
∴AH⊥HF,且AH=HF
∴△AHF为等腰直角三角形.
(2)∵AB=3,EC=5,
∴AD=CD=3,DE=2,EF=5.
∵AD∥EF,
∴,且DE=2.
∴EM=.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,其顶点为D,连接AD,点P是线段AD上一个动点(不与A,D重合),过点P作y轴的垂线,垂足点为E,连接AE.
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)如果P点的坐标为(x,y),△PAE的面积为S,求S与x之间的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值.
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【题目】下列说法不正确的是( )
A.机场对乘客进行安检不能采用抽样调查
B.一组数据10,11,12,9,8的平均数是10,方差是2
C.“清明时节雨纷纷”是随机事件
D.一组数据6,5,3,5,4的众数是5,中位数是3
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【题目】(问题提出):有同样大小正方形256个,拼成如图1所示的的一个大的正方形.请问如果用一条直线穿过这个大正方形的话,最多可以穿过多少个小正方形?
(问题探究):我们先考虑以下简单的情况:一条直线穿越一个正方形的情况.(如图2)
从图中我们可以看出,当一条直线穿过一个小正方形时,这条直线最多与正方形上、下、左、右四条边中的两个边相交,所以当一条直线穿过一个小正方形时,这条直线会与其中某两条边产生两个交点,并且以两个交点为顶点的线段会全部落在小正方形内.
这就启发我们:为了求出直线最多穿过多少个小正方形,我们可以转而去考虑当直线穿越由小正方形拼成的大正方形时最多会产生多少个交点.然后由交点数去确定有多少根小线段,进而通过线段的根数确定下正方形的个数.
再让我们来考虑正方形的情况(如图3):
为了让直线穿越更多的小正方形,我们不妨假设直线右上方至左下方穿过一个的正方形,我们从两个方向来分析直线穿过正方形的情况:从上下来看,这条直线由下至上最多可穿过上下平行的两条线段;从左右来看,这条直线最多可穿过左右平行的四条线段;这样直线最多可穿过的大正方形中的六条线段,从而直线上会产生6个交点,这6个交点之间的5条线段,每条会落在一个不同的正方形内,因此直线最多能经过5个小正方形.
(问题解决):
(1)有同样大小的小正方形16个,拼成如图4所示的的一个大的正方形.如果用一条直线穿过这个大正方形的话,最多可以穿过_________个小正方形.
(2)有同样大小的小正方形256个,拼成的一个大的正方形.如果用一条直线穿过这个大正方形的话,最多可以穿过___________个小正方形.
(3)如果用一条直线穿过的大正方形的话,最多可以穿过___________个小正方形.
(问题拓展):
(4)如果用一条直线穿过的大长方形的话(如图5),最多可以穿过个___________小正方形.
(5)如果用一条直线穿过的大长方形的话(如图6),最多可以穿过___________个小正方形.
(6)如果用一条直线穿过的大长方形的话,最多可以穿过________个小正方形.
(类比探究):
由二维的平面我们可以联想到三维的立体空间,平面中的正方形中四条边可联想到正方体中的正方形的六个面,类比上面问题解决的方法解决如下问题:
(7)如图7有同样大小的小正方体8个,拼成如图所示的的一个大的正方体.如果用一条直线穿过这个大正方体的话,最多可以穿过___________个小正方体.
(8)如果用一条直线穿过的大正方体的话,最多可以穿过_________个小正方体.
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【题目】已知抛物线经过点和点,顶点为.
(1)求、的值;
(2)若的坐标为,当时,二次函数有最大值,求的值;
(3)直线与直线、直线分别相交于、,若抛物线与线段(包含、两点)有两个公共点,求的取值范围.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ、DP交于点O,并分别与边CD、BC交于点F、E,连接AE,下列结论:①AQ⊥DP;②OA2=OEOP;③S△AOD<S四边形OECF;④当BP=1时,tan∠OAE=,其中正确结论的是_____.(请将正确结论的序号填写在横线上)
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【题目】如图,点A的坐标为(0,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等腰Rt△ABC,使∠BAC=90°,设点B的横坐标为x,设点C的纵坐标为y,能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,D是边AC的中点,CE⊥BD于E.若F是边AB上的点,且使△AEF为等腰三角形,则AF的长为_____.
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【题目】甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称,他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是年,经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查,统计结果如下:(单位:年)
甲厂:、、、、、、、、、
乙厂:、、、、、、、、、
丙厂:、、、、、、、、、
请回答下面问题:
(1)填空:
平均数 | 众数 | 中位数 | |
甲厂 | _____ | ||
乙厂 | ______ | ||
丙厂 | ______ |
(2)这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数;
(3)如果你是顾客,你会买三家中哪一家的电子产品?为什么?
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