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如图,以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D,过D作DE⊥AC于E,可得结论:DE是⊙O的切线.问:
(1)若点O在AB上向点B移动,以O为圆心,OB长为半径的圆仍交BC于D,DE⊥AC的条件不变,那么上述结论是否成立?请说明理由;
(2)如果AB=AC=5cm,sinA=数学公式,那么圆心O在AB的什么位置时,⊙O与AC相切?

解:(1)结论成立.理由如下:
如图,连接OD;
∵OD=OB,
∴∠ABC=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ACB=∠ODB,
∴OD∥AC;
又∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,即DE是⊙O的切线.

(2)当圆心O在AB上距B点为3x=时,⊙O与AC相切.
如图所示,⊙O与AC相切于F,⊙O与AB相交于G.则OF⊥AC;
在RT△AOF中,sinA=OF:AO=3:5;
设OF=3X,AO=5X,则OB=OG=OF=3X,AG=2X,
∴8x=AB=5,
∴x=,此时OB=3x=时,
即当圆心O在AB上距B点为3x=时,⊙O与AC相切.
分析:(1)结论仍然成立.在连接OD后,因为OD=OB,AB=AC,则有∠ABC=∠ACB=∠ODB,所以OD和AC永远平行;又DE和AC垂直,所以DE和OD也垂直,即DE是⊙O的切线.
(2)当⊙O与AC相切时,若假设切点为F,⊙O与AB相交于G,则OF和AC垂直,即△AOF是一个以AO为斜边的直角三角形;从而根据三角函数求得OF,OB的长,即可确定圆心O在AB的什么位置时,⊙O与AC相切.
点评:此题主要考查了切线的判定,以及圆中一些基本性质.
练习册系列答案
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24、如图,以等腰△ABC的腰AB为⊙O的直径交底边BC于D,DE⊥AC于E.
求证:
(1)DB=DC;
(2)DE为⊙O的切线.

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(I)求证:DE为⊙O的切线;
(II)若⊙O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.

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(2)如果AB=AC=5cm,sinA=
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,那么圆心O在AB的什么位置时,⊙O与AC相切?

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(1)求证:DE⊥AC;
(2)若AB=BC=CA=2,问圆心O与点A的距离为多少时,⊙O与AC相切?

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如图,以等腰△ABC的腰AB为直径画半圆O,交AC于E,交BC于D.
(1)求证:D是BC的中点;
(2)若∠BAC=50°,求
DE
的度数.

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