Question

6．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x²+（m-3）x-3m（0＜m＜3）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若∠ABC=45°，
（1）求点B的坐标和m的值；
（2）已知一次函数y=kx+b，若只有当-2＜x＜2时，x²+（m-3）x-3m＜kx+b，求这个一次函数的解析式．
（3）设P是一次函数图象上任意一点、Q是抛物线上任意一点，是否存在P、Q两点，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先表示出C点坐标（0，-3m），再证明△OBC为等腰直角三角形得到OB=OC=3m，则B（3m，0），然后把B（3m，0）代入y=x²+（m-3）x-3m得关于m的方程，解方程求出m，从而得到B点坐标；
（2）抛物线的解析式为y=x²-2x-3，分别计算x=-2和x=2时的函数值，利用函数图象，由于当-2＜x＜2时，x²+（m-3）x-3m＜kx+b，所以直线y=kx+b经过点（-2，5），（2，-3），然后利用待定系数法确定一次函数解析式；
（3）讨论：当BC为对角线时，如图1，设P（t，-2t+1），利用平行四边形的性质，通过点C平移到点P的坐标变化情况得到点B平移到点Q的坐标变换规律，从而得到点Q（3-t，2t-4），然后把Q（3-t，2t-4）代入y=x²-2x-3得（3-t）²-2（3-t）-3=2t-4；当BC边时，如图2，设P（t，-2t+1），利用同样的方法得到点Q（3+t，-2t+4），然后把Q（3+t，-2t+4）代入y=x²-2x-3得（3+t）²-2（3+t）-3=-2t+4，最后分别解关于t的方程，从而得到P点坐标．

解答 解：*（1）当x=0时，y=x²+（m-3）x-3m=-3m，则C（0，-3m），
∵∠ABC=45°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴OB=OC=3m，则B（3m，0），
把B（3m，0）代入y=x²+（m-3）x-3m得9m²+3m（m-3）-3m=0，
整理得m²-m=0，解得m₁=0（舍去），m₂=1，
∴m的值为1，B（3，0）；
（2）抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
当x=-2时，y=x²-2x-3=5；当x=2时，y=x²-2x-3=-3，
∵只有当-2＜x＜2时，x²+（m-3）x-3m＜kx+b，
∴直线y=kx+b经过点（-2，5），（2，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=5}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=-2x+1；
（3）存在．
当BC为对角线时，如图1，
设P（t，-2t+1），
∵点C（0，-3）向右平移t个单位，向上平移（-2t+4）个单位得到点P（t，-2t+1），则点B（3，0）向左平移t个单位，向下平移（-2t+4）个单位得到点Q（3-t，2t-4），
把Q（3-t，2t-4）代入y=x²-2x-3得（3-t）²-2（3-t）-3=2t-4，
整理得t²-6t+4=0，解得t₁=3-$\sqrt{5}$，m₂=3+$\sqrt{5}$，此时P点坐标为（3-$\sqrt{5}$，-5+2$\sqrt{5}$）或（3+$\sqrt{5}$，-5-2$\sqrt{5}$）；
当BC边时，如图2，
设P（t，-2t+1），
∵点C（0，-3）向右平移t个单位，向上平移（-2t+4）个单位得到点P（t，-2t+1），则点B（3，0）向右平移t个单位，向上平移（-2t+4）个单位得到点Q（3+t，-2t+4），
把Q（3+t，-2t+4）代入y=x²-2x-3得（3+t）²-2（3+t）-3=-2t+4，
整理得t²+6t-4=0，解得t₁=-3-$\sqrt{13}$，m₂=-3+$\sqrt{13}$，此时P点坐标为（-3-$\sqrt{13}$，-5+2$\sqrt{13}$）或（-3-$\sqrt{13}$，-5-2$\sqrt{13}$），
综上所述，满足条件的P点坐标为（3-$\sqrt{5}$，-5+2$\sqrt{5}$）或（3+$\sqrt{5}$，-5-2$\sqrt{5}$）或（-3-$\sqrt{13}$，-5+2$\sqrt{13}$）或（-3-$\sqrt{13}$，-5-2$\sqrt{13}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解点平移的坐标规律和坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．