Question

已知△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是一个含有30°角的直角三角形，现将△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD．
（1）画出四边形ABCD；
（2）求出四边形ABCD的对角线BD的长．

Answer 1

考点：勾股定理,等边三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：几何综合题,开放型

分析：（1）△ABC和△ACD的AC边重合，可以分为2种情况，
①AC为30°角所对应的直角边；
②AC为斜边；
③AC为60°角所对应的直角边．
（2）根据不同的图形求出BD的长度．

解答：解：（1）四边形ABCD分为2种情况，①AC为斜边；②AC为60°角所对直角边；③AC为30°角所对直角边．

所以，共6种图形．

（2）如图，分别求BD的长度，
在图1中，BD=

BC2+CD2

=

BC2+AC2+AD2

=

2

3

21

；
在图2中，BD=

AB2+AD2

=

AB2+AC2+CD2

=

2

3

21

；
在图3中，BD=

AB2+AD2

=

AB2+AC2-CD2

=

7

；
在图4中，BD=

BC2+CD2

=

BC2+CA2- AD2

=

7

．
在图5中，BD=

BC2+CD2-2BC•CD•cos120°

=2

7

；
在图6中，BD=

BA2+AD2-2BA•AD•cos120°

=2

7

．
答：BD的长度为

7

或2

7

或

2

3

21

．

点评：本题考查的是等边三角形和直角三角形的组合，找出BD所在的直角三角形根据勾股定理可以求解．分类讨论．