Question

如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，过C点作CD⊥AB，垂足为D，且AD=m，BD=n，AC²：BC²=2：1，又关于x的方程x²-2（n-1）x+m²-12=0两实数根的差的平方小于192，求：m，n为整数时，一次函数y=mx+n的解析式．

Answer 1

解：易证△ABC∽△ACD，∴=，AC²=AD•AB，同理BC²=BD•AB，
∴=，∵=，∴=，∴m=2n…①，
∵关于x的方程x²-2（n-1）x+m²-12=0有两实数根，
∴△=[-2（n-1）]²-4××（m²-12）≥0，
∴4n²-m²-8n+16≥0，把①代入上式得n≤2…②，
设关于x的方程x²-2（n-1）x+m²-12=0的两个实数根分别为x₁，x₂，
则x₁+x₂=8（n-1），x₁•x₂=4（m²-2），
依题意有（x₁-x₂）²＜192，即[8（n-1）]²-16（m²-12）＜192，
∴4n²-m²-8n+4＜0，把①式代入上式得n＞…③，由②、③得＜n≤2，
∵m、n为整数，∴n的整数值为1，2，
当n=1，m=2时，所求解析式为y=2x+1，当n=2，m=4时，解析式为y=4x+2．
分析：根据△ABC∽△ACD，求出m和n之间的关系式；再根据根与系数的关系求出m、n的取值范围，然后估算，即可求得一次函数的解析式．
点评：此题结合了相似三角形和根的判别式，还要对整数值进行估算，难度较大，有利于培养同学们钻研和探索问题的能力．