Question

9．如图，经过正方形ABCD的对角线AC的中点H作直线和两边交于点E，F，再过点H作EF的垂线交边CD于点G，连接EG，FG
（1）求证：DE=CG；
（2）判断△EFG是什么三角形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过证得△BFH≌△CGH和△AEH≌△CFH，得出DE=BF=CG；
（2）通过△BFH≌△CGH证得FH=GH，证得△FGH是等腰直角三角形，得出∠HFG=45°，根据△AEH≌△CFH证得EH=FH，然后根据垂直平分线的性质即可证得△EFG是等腰直角三角形．

解答 解：（1）连接BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∵AH=CH，
∴BH=AH=CH，BH⊥AC，
∵GH⊥EF，
∴∠HBC=∠HCB=45°，∠BHC=∠GHF=90°，
∴∠BHF=∠CHG，
在△BFH和△CGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BHF=∠CHG}\\{BH=CH}\\{∠HBF=∠HCG}\end{array}\right.$，
∴△BFH≌△CGH（ASA），
∴BF=CG，
∵AD∥BC，
∴∠EAH=∠FCH，
在△AEH和△CFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAH=∠FCH}\\{AH=CH}\\{∠AHE=∠CHF}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△CFH（ASA），
∴AE=CF，
∵AD=BC，
∴AD-AE=BC-CF，
即ED=BF，
∴DE=CG；
（2）△EFG是等腰直角三角形，
理由：∵△BFH≌△CGH，
∴FH=GH，
∵GH⊥EF，
∴∠HFG=45°，
∵△AEH≌△CFH，
∴EH=FH，
∴GF=GE，
∴∠GEF=∠GFE=45°，
∴∠EGF=90°，
∴△EFG是等腰直角三角形．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．