Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=kx+b与x、y轴分别相交于点A、B，与双曲线y=

m

x

相交于C，D两点，且点D的坐标为（1，6）．若tan∠OAB=

1

6

，则

CD

AB

的值为（　　）

• A．

  35

  37

• B．

  37

  35

• C．

  35

  37

  或

  37

  35

• D．

  5

  7

Answer 1

分析：首先根据D点坐标，得出k的值，再根据tan∠OAB=

1

6

，得出

DE

EC

=

1

6

，进而得出C点坐标，求出直线AB的解析式，进而得出OB的长，即可得出DE的长，再利用相似三角形的性质得出即可．

解答：解：如图所示：作DT⊥x轴于点T，作C′F⊥DT于点F，作CE⊥DT于点E，
∵点D的坐标为（1，6），
∴xy=6，则反比例函数解析式为：y=

6

x

，
∴设C点坐标为：（x，

6

x

），
∴EC=x-1，DE=6-

6

x

，
∵tan∠OAB=

1

6

，
∴

DE

EC

=

6- 6 x

x-1

=

1

6

，
解得：x₁=36，x₂=1，
经检验得出：x=1时，x-1=0，是方程的增根，
故方程的解为：x=36，
∴C点坐标为：（36，

1

6

），
设一次函数直线AB的解析式为y=kx+b，
则

k+b=6 36k+b= 1 6

，
解得：

k=- 1 6 b= 37 6

，
∴一次函数直线AB的解析式为：y=-

1

6

x+

37

6

，
∴OB=

37

6

，
∵△OCB∽ECD，
∴

CD

AB

=

DE

BO

=

6- 1 6

37 6

=

35

37

；
设C′点坐标为：（a，

6

a

），
∴FC′=-a+1，DF=6-

6

a

，
∵tan∠OA′B′=

1

6

，
∴

DF

FC′

=

6- 6 a

-a+1

=

1

6

，
解得：a₁=-36，a₂=1，
经检验得出：a=1时，a-1=0，是方程的增根，
故方程的解为：a=-36，
∴C点坐标为：（-36，-

1

6

），
设一次函数直线AB的解析式为y=mx+c，
则

m+c=6 -36m+c=- 1 6

，
解得：

m= 1 6 c= 35 6

，
∴一次函数直线AB的解析式为：y=

1

6

x+

35

6

，
∴OB=

35

6

，
∵△A′B′O∽△C′DF，
∴

CD

A′B′

=

DF

OB′

=

6+ 1 6

35 6

=

37

35

；
故则

CD

AB

的值为

35

37

或

37

35

．
故选：C．

点评：此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的性质和锐角三角函数关系、待定系数法求一次函数解析式等知识，根据已知得出C点坐标是解题关键．