Question

如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b．
（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？
（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB，求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．

Answer 1

证明：（1）若△ABC∽△CDB，
BC：AC=BD：BC，
=，即=，
∴BD=．
即当BD=时，△ABC∽△CDB；

（2）∵△ABC∽△CDB，
∴∠ACB=∠CBD，
∴AC∥ED．
又∵∠D=90°，
∴∠ACD=90°，
又∵∠E=90°，
∴四边形AEDC为矩形．
分析：（1）当BD=时，△ABC∽△CDB，理由为：相似三角形的性质；
（2）由（1）得到的两三角形相似，根据相似三角形的对应角相等得到∠ACB与∠CBD相等，利用内错角相等两直线平行，推出AC与BD平行，再根据两直线平行，同旁内角互补，由∠D为直角，得到∠ACD为直角，又∠E为直角，根据三个角为直角的四边形是矩形，即可得证．
点评：本题属于探究条件型题，即在条件不充分的情况下，探究所缺失的条件，解答这类型试题可采用逆向思维，视结论为题设，寻找使之成立的必要条件．同时要求学生掌握相似三角形的判定与性质，以及矩形的判定方法．