【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点C(0,4),点A、B在x轴上,并且OA=OC=4OB,动点P在过A、B、C三点的抛物线上.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)在直线AC上方的抛物线上,是否存在点P,使得△PAC的面积最大?若存在,求出P点坐标及ΔPAC面积的最大值;若不存在,请说明理由.
(3)在x轴上是否存在点Q,使得△ACQ是等腰三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2+3x+4;(2)存在, 当P点坐标为(2,6)时,ΔPAC面积的最大值是8;(3)Q(0,0),(-4,0),.
【解析】试题分析:(1)根据点C的坐标,即可求得OC的长,再求得点A、B的坐标,利用待定系数法即可求得函数的解析式;(2)存在,作PN⊥x轴交AC于N,先求得直线AC的解析式,设P(x,x2+3x+4),则N(x,-x+4),即可得PN=x2+4x ,根据三角形的面积公式可得S△PAC=PN×4=-2(x-2)2+8 ,根据二次函数的性质可得当x=2时,ΔPAC面积的最大值为8,再求得点P的坐标即可;(3)根据勾股定理求得AC=4,以A为顶点,以AC为腰时,可得AQ=4,此时可得Q的坐标为(4+4,0)、(4-4,0);以C为顶点,以AC为腰时,AC=AQ,因OC垂直于x轴,可得OA=OQ,此时点Q的坐标为(-4,0);以O为顶点,以AC为底边时,此时点Q的坐标为(0,0),所以符合条件的点Q的坐标为:(0,0),(-4,0),.
试题解析:
(1)∵C(0,4),∴OC=4.
∵OA=OC=4OB,∴OA=4,OB=1,
∴A(4,0),B(1,0),
设抛物线解析式:y=a(x+1)(x4),
∴4=4a,∴a=1.
∴y=x2+3x+4.
(2)存在.
作PN⊥x轴交AC于N,求得AC的解析式为y=-x+4 ,
设P(x,x2+3x+4),则N(x,-x+4),
得PN=(x2+3x+4)-(-x+4)=x2+4x ,
∴S△PAC=PN×4=2PN=2(x2+4x)=-2(x-2)2+8 ,
当x=2时,ΔPAC面积的最大值为8,此时点P的坐标为(2,6).
∴P点坐标为(2,6)时,ΔPAC面积有最大值,最大面积是8 .
(3) 根据勾股定理求得AC=4,分三种情况:
①以A为顶点,以AC为腰时,可得AQ=4,此时可得Q的坐标为(4+4,0)、(4-4,0);
②以C为顶点,以AC为腰时,AC=AQ,因OC垂直于x轴,可得OA=OQ,此时点Q的坐标为(-4,0);
③以O为顶点,以AC为底边时,此时点Q的坐标为(0,0),
综上,符合条件的点Q的坐标为:(0,0),(-4,0),.
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【题目】如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C'处,折痕为EF,若∠ABE=25°,则∠EFC'的度数为( )
A.122.5°B.130°C.135°D.140°
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【题目】如图,△ABC在直角坐标系中,
(1)请写出△ABC各点的坐标.
(2)求出△ABC的面积.
(3)若把△ABC向上平移2个单位,再向右平移2个单位得到△A′B′C′,请在图中画出△A′B′C′,并写出点A′、B′、C′的坐标.
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【题目】如图,在一次空中搜寻中,水平飞行的飞机观测到在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体(该物体视为静止).为了便于观察,飞机继续向前飞行了800米到达B点,此时测得点F在点B俯角为60°的方向上,请你计算当飞机飞临F的正上方点C时(点A、B、C在同一直线上),竖直高度CF约为多少米?(结果保留整数,参考数值:≈1.7)
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【题目】某工艺厂计划一周生产工艺品2100个,平均每天生产300个,但实际每天生产量与计划相比有出入.下表是某周的生产情况(超产记为正、减产记为负):
(1)写出该厂星期一生产工艺品的数量;
(2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品?
(3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量;
(4)已知该厂实行每周计件工资制,每生产一个工艺品可得60元,若超额完成任务,则超过部分每个另奖50元,少生产一个扣80元.试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额.
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【题目】有一数值转换器,原理如图所示,若开始输入x的值是7,可发现第1次输出的结果是12,第2次输出的结果是6,第3次输出的结果是______,依次继续下去…,第2019输出的结果是______.
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【题目】如图在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(3,0)、点B(0,3),顶点为M.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)求∠OBM的正切值.
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【题目】雾霾天气持续笼罩我国大部分地区,困扰着广大市民的生活,口罩市场出现热销,小明的爸爸用12000元购进甲、乙两种型号的口罩在自家商店销售,销售完后共获利2700元,进价和售价如表:
(1)小明爸爸的商店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋?
(2)该商店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩,购进甲种型号口罩袋数不变,而购进乙种型号口罩袋数是第一次的2倍,甲种口罩按原售价出售,而效果更好的乙种口罩打折让利销售,若两种型号的口罩全部售完,要使第二次销售活动获利不少于2460元,每袋乙种型号的口罩最多打几折?
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【题目】如图,在ABC中,AB、BC的垂直平分线相交于三角形内一点O,下列结论中错误的是( )
A. 点O在AC的垂直平分线上
B. AOB、BOC、COA都是等腰三角形
C. OAB+OBC+OCA=
D. 点O到AB、BC、CA的距离相等
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