Question

如图，△ABC中，AD、BE、CF三线交于一点O．

求证：··＝1．

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵＝， 　　＝，＝． 　　∴··＝··＝1． 　　用同一方法不难证明本命题的逆命题也是成立的，即D、E、F是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，若··＝1，则AD、BE、CF交于一点． 　　本命题及其逆命题就是著名的塞瓦定理．用它来解决某些三线共点问题，显得十分简捷，例如： 　　(1)若图上三线AD、BE、CF是三条中线，显然··＝1×1×1＝1，所以三中线必交于一点，再由＝＝1，可知S△AOB＝S△BOC，从而易证＝，同理可证，＝＝，这就是重心定理． 　　(2)若上图中的AD、BE、CF是三条内角平分线，则 　　··＝··＝1． 　　这说明三内角平分线也是交于一点的． 　　(3)如图，若AD、BE、CF是△ABC的三条高，由于Rt△AFC∽Rt△AEB，有＝．同理，＝，＝． 　　∴··＝··＝··＝1 　　说明AD、BE、CF交于一点．