Question

如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形的对称中心E，且与边BC交于点    D．
（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；
（2）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线的解析式．

Answer 1

（1）反比例函数解析式为y=，点D的坐标为（1，2）；
（2）直线的解析式为y=﹣2x+4或y=﹣x+．

解析试题分析：（1）根据中心对称求出点E的坐标，再代入反比例函数解析式求出k，然后根据点D的纵坐标与点B的纵坐标相等代入求解即可得到点D的坐标；
（2）设直线与x轴的交点为F，根据点D的坐标求出CD，再根据梯形的面积分两种情况求出OF的长，然后写出点F的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即可．
试题解析：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中心，
∴点E的坐标为（2，1），
代入反比例函数解析式得，=1，
解得k=2，
∴反比例函数解析式为y=，
∵点D在边BC上，
∴点D的纵坐标为2，
∴y=2时，=2，
解得x=1，
∴点D的坐标为（1，2）；
（2）如图，

设直线与x轴的交点为F，
矩形OABC的面积=4×2=8，
∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，
∴梯形OFDC的面积为×8=3，
或×8=5，
∵点D的坐标为（1，2），
∴若（1+OF）×2=3，
解得OF=2，
此时点F的坐标为（2，0），
若（1+OF）×2=5，
解得OF=4，
此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，
当D（1，2），F（2，0）时，，
解得，
此时，直线解析式为y=﹣2x+4，
当D（1，2），F（4，0）时，，
解得，
此时，直线解析式为y=﹣x+，
综上所述，直线的解析式为y=﹣2x+4或y=﹣x+．
考点：1.矩形的性质2.待定系数法求一次函数解析式3.待定系数法求反比例函数解析式．