Question

已知关于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并直接写出以这两根为直角边的直角三角形外接圆半径的值．

Answer 1

分析：（1）先计算判别式、整理得到△=（m-2）²+4，再根据非负数的性质△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先把x=1定义原方程可求出m=2，则方程变形为x²-4x+3=0，利用因式分解法得到x₁=1，x₂=3，再根据勾股定理计算出以1，3为直角边的直角三角形的斜边为

10

，然后根据直角三角形的斜边为外接圆的直径求解．

解答：（1）证明：△=（m+2）²-4（2m-1）
=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴△＞0，
∴方程恒有两个不相等的实数根；

（2）解：把x=1代入方程得1-（m+2）+2m-1=0，解得m=2，
∴原方程变形为x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，即方程另一根为3，
∵以1，3为直角边的直角三角形的斜边为

12+32

=

10

，
∴以1，3为直角边的直角三角形的直角三角形外接圆半径为

10

2

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解和直角三角形外接圆与外心．