【题目】已知直线m∥n,点C是直线m上一点,点D是直线n上一点,CD与直线m、n不垂直,点P为线段CD的中点.
(1)操作发现:直线l⊥m,分别交m、n于点A、B,当点B与点D重合时(如图1),连结PA,请直接写出线段PA与PB的数量关系: .
(2)猜想证明:在图1的情况下,把直线l向右平移到如图2的位置,试问(1)中的PA与PB
的关系式是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(3)延伸探究:在图2的情况下,把直线l绕点A旋转,使得∠APB=90°(如图3),若两平行线m、n之间的距离为2k,求证:PAPB=kAB.
【答案】(1)PA=PB;(2)成立,证明详见解析;(3)详见解析.
【解析】
(1)根据△CBD是直角三角形,而且点P为线段CD的中点,应用直角三角形的性质,可得PA=PB,据此解答即可.
(2)PA=PB仍然成立.如图,延长AP交直线n于点E.只要证明PA=PE即可;
(3)延长AP交直线n于点E,作AF⊥直线n于点F.只要证明△AEF∽△BEP,可得,推出AEBP=AFBE,由AF=2k,AE=2PA,BE=AB,推出2PAPB=2kAB,可得PAPB=AB.
解:.
成立.如图,延长AP交直线m于点E.
mn,
,,
又,
≌.
,即点P是AE的中点,
又,
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如图,延长AP交直线n于点E,作直线n于点
由得,
又,
是线段AE的垂直平分,
,,
∽.
,
,
,,,
,
.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA.
(1)若∠BAC=90°(图1),求∠DAE的度数;
(2)若∠BAC=120°(图2),求∠DAE的度数;
(3)当∠BAC>90°时,探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系,直接写出结果.
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【题目】如图,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为45°、30°,如果此时热气球C处离地面的高度CD为100米,且点A、D、B在同一直线上,求AB两点间的距离(结果保留根号)
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【题目】如图,直线与x轴、y轴分别交于点A、B,动点Q在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从点A向终点B运动,过点Q作AB的垂线交x轴于点P,设点Q的运动时间为t秒.
求证;
是否存在t值,为等腰三角形?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由.
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【题目】青海新闻网讯:2016年2月21日,西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用.市政府今年投资了112万元,建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车.今后将逐年增加投资,用于建设新站点、配置公共自行车.预计2018年将投资340.5万元,新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车.
(1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元?
(2)请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率.
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【题目】如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点G.
(1)求证:AD垂直平分EF;
(2)若∠BAC=60°,猜测DG与AG间有何数量关系?请说明理由.
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【题目】如图,已知:在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD=25,BC=32,连接BD,AE⊥BD,垂足为E.
(1)求证:△ABE∽△DBC;
(2)求线段AE的长.
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【题目】某商店第一次用3000元购进某款书包,很快卖完,第二次又用2400元购进该款书包,但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍,数量比第一次少了20个.
(1)求第一次每个书包的进价是多少元?
(2)若第二次进货后按80元/个的价格销售,恰好销售完一半时,根据市场情况,商店决定对剩余的书包按同一标准一次性打折销售,但要求这次的利润不少于480元,问最低可打几折?
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