Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点A（2，0），B（-2，-4），对称轴为直线x=-1．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若-3＜x＜3，直接写出y的取值范围；
（3）若一元二次方程ax²+bx+c-m=0（a≠0，m为实数）在-3＜x＜3的范围内有实数根，直接写出m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵抛物线与x轴的一个交点坐标为A（2，0），对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（-4，0），
设抛物线的交点式为y=a（x+4）（x-2），将B（-2，-4）代入，得
a•（-2+4）•（-2-2）=-4，解得a=，
∴y=（x+4）（x-2），即y=x²+x-4；

（2）当x=-1时，y=x²+x-4=-4，
当x=-3时，y=x²+x-4=-2，
当x=3时，y=x²+x-4=3，
∴-4＜y＜3；

（3）由（2）的结论可知，-4＜m＜3．
分析：（1）根据A（2，0），对称轴为直线x=-1求出抛物线与x轴另一交点坐标，设抛物线交点式，将B（-2，-4）代入求a的值即可；
（2）根据解析式求顶点坐标，可知顶点在-3＜x＜3范围内，比较顶点纵坐标，x=±3时的函数值，即可确定y的取值范围；
（3）将一元二次方程ax²+bx+c-m=0看作二次函数m=ax²+bx+c，可知m=y，由（2）可知m的取值范围．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式．关键是根据对称轴及抛物线与x轴的一个交点坐标求另一交点坐标，确定抛物线解析式，根据顶点为最低点确定函数值的取值范围．